Passaggio serie di funzioni
Mi sono bloccato nello studio della seguente serie di funzione:
$sum_(n=0)^(+infty) 1/(n^2x^2+4)$
L'esercizio chiede di studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Studio la convergenza puntuale. La serie è a termini positivi ergo posso applicare i criteri noti per trovare il carattere di una serie nel caso essa sia a termini positivi. Applico il criterio del confronto, confrontandola con la serie $sum_(n=0)^(+infty) 1/n^2$ che sappiamo che converge. Allora il limite $lim_(n to infty) n^2/(n^2x^2+4)$ è uguale a $1/x^2$ Esatto? o il mio ragionamento fino a questo punto è sbagliato?
$sum_(n=0)^(+infty) 1/(n^2x^2+4)$
L'esercizio chiede di studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Studio la convergenza puntuale. La serie è a termini positivi ergo posso applicare i criteri noti per trovare il carattere di una serie nel caso essa sia a termini positivi. Applico il criterio del confronto, confrontandola con la serie $sum_(n=0)^(+infty) 1/n^2$ che sappiamo che converge. Allora il limite $lim_(n to infty) n^2/(n^2x^2+4)$ è uguale a $1/x^2$ Esatto? o il mio ragionamento fino a questo punto è sbagliato?
Risposte
La serie da studiare è $sum_n1/(n^2x^2+4)$ o $sum_(n)n^2/(n^2x^2+4)$?
Il tuo ragionamento è corretto per $x\ne 0$, e ti porta a concludere che per tali valori di $x$ la serie è convergente.
Viceversa, per $x=0$, non dovresti far fatica a stabilire il carattere della serie.
Devi poi studiare la convergenza uniforme. Da quanto visto per la convergenza puntuale puoi immaginare che ci sia qualche problema in un intorno dell'origine.
Viceversa, per $x=0$, non dovresti far fatica a stabilire il carattere della serie.
Devi poi studiare la convergenza uniforme. Da quanto visto per la convergenza puntuale puoi immaginare che ci sia qualche problema in un intorno dell'origine.
"Relegal":
La serie da studiare è $sum_n1/(n^2x^2+4)$ o $sum_(n)n^2/(n^2x^2+4)$?
La serie da studiare è: $sum_n1/(n^2x^2+4)$
"Rigel":
Il tuo ragionamento è corretto per $x\ne 0$, e ti porta a concludere che per tali valori di $x$ la serie è convergente.
Viceversa, per $x=0$, non dovresti far fatica a stabilire il carattere della serie.
Devi poi studiare la convergenza uniforme. Da quanto visto per la convergenza puntuale puoi immaginare che ci sia qualche problema in un intorno dell'origine.
Ok tutto chiaro. Ma per studiare la convergenza uniforme mi conviene studiare quella totale? esatto?
Per un teorema noto (quale?) puoi concludere che la serie non converge uniformemente su tutto $RR$.
Puoi invece dimostrare che la serie converge totalmente (quindi uniformemente) sugli insiemi del tipo $(-\infty, -a]\cup [a, +\infty)$, con $a>0$.
Puoi invece dimostrare che la serie converge totalmente (quindi uniformemente) sugli insiemi del tipo $(-\infty, -a]\cup [a, +\infty)$, con $a>0$.
"mazzy89":
La serie da studiare è: $sum_n1/(n^2x^2+4)$
Sì scusami, avevo letto male io il tuo post.
"Rigel":
Per un teorema noto (quale?) puoi concludere che la serie non converge uniformemente su tutto $RR$.
Puoi invece dimostrare che la serie converge totalmente (quindi uniformemente) sugli insiemi del tipo $(-\infty, -a]\cup [a, +\infty)$, con $a>0$.
Scusami Rigel ho spulciato tutto il mio libro di analisi 2 e anche i miei cassetti della memoria ma non ricordo proprio un teorema da cui si conclude che la serie converge uniformemente. Me lo potresti rinfrescare?
"mazzy89":
Scusami Rigel ho spulciato tutto il mio libro di analisi 2 e anche i miei cassetti della memoria ma non ricordo proprio un teorema da cui si conclude che la serie converge uniformemente. Me lo potresti rinfrescare?
Teorema della convergenza totale....
IP
$ sum f_n(x) $ con $f_n$ definita in $(a, b)$
$ EE $ sup $( f_n(x) ) = L_n$
$ sum_{n=1}^{infty} L_n = S \in RR $
TS
$sum_{n=1}^{infty} f_n(x)$ è totalmente convergente ( il che implica convergenza assoluta ed uniforme )
"pater46":
[quote="mazzy89"]Scusami Rigel ho spulciato tutto il mio libro di analisi 2 e anche i miei cassetti della memoria ma non ricordo proprio un teorema da cui si conclude che la serie converge uniformemente. Me lo potresti rinfrescare?
Teorema della convergenza totale....
IP
$ sum f_n(x) $ con $f_n$ definita in $(a, b)$
$ EE $ sup $( f_n(x) ) = L_n$
$ sum_{n=1}^{infty} L_n = S \in RR $
TS
$sum_{n=1}^{infty} f_n(x)$ è totalmente convergente ( il che implica convergenza assoluta ed uniforme )[/quote]
esatto come non ci ho fatto a pensare prima.Per diretta conseguenza essendo totalmente convergente è anche uniformemente convergente. Perfetto Grazie Pater46
figurati 
Ste cose le ho ancora fresche dalle lezioni, mi fa bene ripassarle 
Ste cose le ho ancora fresche dalle lezioni, mi fa bene ripassarle
@pater: Ok, però cerchiamo di dire meglio le cose. Intanto dovresti mettere un segno di valore assoluto in quel $"sup"f_n(x)$. Ma soprattutto quello che stai enunciando non è un teorema ma una definizione; almeno, così è secondo la terminologia che ho visto sempre, forse tu intendi qualcosa di diverso con "serie totalmente convergente"? Provo a dire la teoria come la conosco io.
Definizione Siano $X$ un insieme e $(f_n)_{n \in NN}$ una successione di funzioni $X\toRR$. Diremo che la serie $sum_{n \in NN}f_n(x)$ converge totalmente se esiste una successione di numeri positivi $(M_n)_{n\inNN}$ tale che $\forall x \in X,\ |f_n(x)|<=M_n$ e $sum_{n\inNN}M_n<+\infty$.
Questa definizione è giustificata dal seguente
Teorema Siano $X$ un insieme e $(f_n)_{n \in NN}$ una successione di funzioni $X\toRR$ tale che la serie $sum_{n \inNN}f_n(x)$ converge totalmente. Allora essa converge assolutamente e uniformemente.
(Su alcuni testi si preferisce non introdurre la definizione di "serie totalmente convergente" e parlare direttamente di questo teorema come di $M$-test di Weierstrass. La $M$ fa riferimento alla successione $M_n$ che sovrasta il termine generale della serie di funzioni.)
Quindi quello che dici nel post precedente è sostanzialmente corretto (ma, ripeto, manca il valore assoluto), però andrebbe spezzato in due: una definizione e un teorema.
Definizione Siano $X$ un insieme e $(f_n)_{n \in NN}$ una successione di funzioni $X\toRR$. Diremo che la serie $sum_{n \in NN}f_n(x)$ converge totalmente se esiste una successione di numeri positivi $(M_n)_{n\inNN}$ tale che $\forall x \in X,\ |f_n(x)|<=M_n$ e $sum_{n\inNN}M_n<+\infty$.
Questa definizione è giustificata dal seguente
Teorema Siano $X$ un insieme e $(f_n)_{n \in NN}$ una successione di funzioni $X\toRR$ tale che la serie $sum_{n \inNN}f_n(x)$ converge totalmente. Allora essa converge assolutamente e uniformemente.
(Su alcuni testi si preferisce non introdurre la definizione di "serie totalmente convergente" e parlare direttamente di questo teorema come di $M$-test di Weierstrass. La $M$ fa riferimento alla successione $M_n$ che sovrasta il termine generale della serie di funzioni.)
Quindi quello che dici nel post precedente è sostanzialmente corretto (ma, ripeto, manca il valore assoluto), però andrebbe spezzato in due: una definizione e un teorema.
Mmm... sicuramente avrai molta più esperienza in materia, grazie per la definizione che hai postato, la quale però mi è nuova... Almeno, nel mio corso ci è stato dato quel teorema, con quelle precise ipotesi e tesi.
Ad ogni modo ho controllato ed anche nel mio libro di Analisi 2 c'è il valore assoluto, che mi sono dimenticato
Grazie per la definizione più rigorosa, mi tornerà utile
Ad ogni modo ho controllato ed anche nel mio libro di Analisi 2 c'è il valore assoluto, che mi sono dimenticato
Grazie per la definizione più rigorosa, mi tornerà utile
Il valore assoluto è importante. Ad esempio la successione di funzioni
$f_1(x)=-1, f_2(x)=-2, f_3(x)=-3, ...$ con $x\inRR$
è sovrastata, senza valore assoluto, dalla successione numerica $M_n=0$. Ma certamente non possiamo dire che la serie
$sum_{n=1}^\inftyf_n(x)=-1-2-3-...-n-...$
converge, figuriamoci se possiamo parlare di convergenza totale.
$f_1(x)=-1, f_2(x)=-2, f_3(x)=-3, ...$ con $x\inRR$
è sovrastata, senza valore assoluto, dalla successione numerica $M_n=0$. Ma certamente non possiamo dire che la serie
$sum_{n=1}^\inftyf_n(x)=-1-2-3-...-n-...$
converge, figuriamoci se possiamo parlare di convergenza totale.
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