Passaggio poco chiaro con il simbolo di sommatoria
Buonasera a tutti!
Stavo studiando una dimostrazione e mi è poco chiaro dal punto di vista formale il passaggio seguente:
[tex]\displaystyle \sum_ {h=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\Lambda_{h,i}\Lambda_{k,j}\delta_{h,k}=\sum_{k=1}^{n}\Lambda_{k,i}\Lambda_{k,j}[/tex],
dove [tex]\delta_{h,k}=1[/tex] se [tex]h=k[/tex] e [tex]\delta_{h,k}=0[/tex] se [tex]h\neq k[/tex] .
Avreste qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Stavo studiando una dimostrazione e mi è poco chiaro dal punto di vista formale il passaggio seguente:
[tex]\displaystyle \sum_ {h=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\Lambda_{h,i}\Lambda_{k,j}\delta_{h,k}=\sum_{k=1}^{n}\Lambda_{k,i}\Lambda_{k,j}[/tex],
dove [tex]\delta_{h,k}=1[/tex] se [tex]h=k[/tex] e [tex]\delta_{h,k}=0[/tex] se [tex]h\neq k[/tex] .
Avreste qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
i sei risposto da sol: la delta , essendo uguale a 1 solo quando h=k, e 0 negli altri casi, cancella di fatto oer ogni k tutti gli indici k diversi da h stesso...
o se vuoi quello alal fine è un prodotto tra matrici, dove la tua delta per come è descritta è la matrice unitaria... $Lambda^T delta Lambda$,
o se vuoi quello alal fine è un prodotto tra matrici, dove la tua delta per come è descritta è la matrice unitaria... $Lambda^T delta Lambda$,
Sì, ho capito come funziona con [tex]\delta[/tex]. Quello che mi chiedo io è se l'"unificazione" delle due sommatorie in un'unica sommatoria vada bene e soprattutto perché. Secondo me dal momento che [tex]h[/tex] e [tex]k[/tex] sono variabili mute e variano entrambe da 1 ad [tex]n[/tex], si pone [tex]h=k[/tex] e si lavora su [tex]k[/tex] (o a questo punto, equivalentemente su [tex]h[/tex]). Giusto?
In questi casi conviene sempre provare a fare le cose semplici.
Ad esempio, fai [tex]$n=2$[/tex]: viene fuori:
[tex]$\sum_{h=1}^2 \sum_{k=1}^2 \Lambda_{h,i}\Lambda_{k,j} \delta_{h,k} = \Lambda_{1,i} \Lambda_{1,j}\delta_{1,1} +\Lambda_{1,i}\Lambda_{2,j}\delta_{1,2} +\Lamba_{2,i} \Lambda_{1,j}\delta_{2,1} +\Lambda_{2,i}\Lambda_{2,j}\delta_{2,2}$[/tex]
[tex]$=\Lambda_{1,i}\Lambda_{1,i}+\Lambda_{2,i}\Lambda_{2,j}$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=1}^2 \Lambda_{k,i}\Lambda_{k,j}$[/tex],
che è proprio quello che volevi.
Insomma, è proprio la presenza di [tex]$\delta_{h,k}$[/tex] che ti consente di eliminare una somma.
Praticamente, essendo [tex]$\delta_{h,k} \neq 0$[/tex] solo per [tex]$h=k$[/tex], è chiaro che uno dei due indici [tex]$h$[/tex] o [tex]$k$[/tex] è un indice "fantasma": invero, dato che sei in presenza del vincolo [tex]$h=k$[/tex], la prima sommatoria non ha senso tenerla viva perchè il suo indice assume sempre valore uguale all'indice dell'altra sommatoria.
Se poi il problema è la scelta della variabile da eliminare tra [tex]$h$[/tex] e [tex]$k$[/tex], beh questo è un falso problema: infatti, come fai notare, le variabili di sommatoria sono mute, quindi alla fine puoi anche scrivere:
[tex]$\sum_{h=1}^n \sum_{k=1}^n \Lambda_{h,i}\Lambda_{k,j} \delta_{h,k}=\sum_{\text{Pippo}=1}^n \Lambda_{\text{Pippo},i}\Lambda_{\text{Pippo},j}$[/tex]
e non ti cambia nulla.
Ad esempio, fai [tex]$n=2$[/tex]: viene fuori:
[tex]$\sum_{h=1}^2 \sum_{k=1}^2 \Lambda_{h,i}\Lambda_{k,j} \delta_{h,k} = \Lambda_{1,i} \Lambda_{1,j}\delta_{1,1} +\Lambda_{1,i}\Lambda_{2,j}\delta_{1,2} +\Lamba_{2,i} \Lambda_{1,j}\delta_{2,1} +\Lambda_{2,i}\Lambda_{2,j}\delta_{2,2}$[/tex]
[tex]$=\Lambda_{1,i}\Lambda_{1,i}+\Lambda_{2,i}\Lambda_{2,j}$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=1}^2 \Lambda_{k,i}\Lambda_{k,j}$[/tex],
che è proprio quello che volevi.
Insomma, è proprio la presenza di [tex]$\delta_{h,k}$[/tex] che ti consente di eliminare una somma.
Praticamente, essendo [tex]$\delta_{h,k} \neq 0$[/tex] solo per [tex]$h=k$[/tex], è chiaro che uno dei due indici [tex]$h$[/tex] o [tex]$k$[/tex] è un indice "fantasma": invero, dato che sei in presenza del vincolo [tex]$h=k$[/tex], la prima sommatoria non ha senso tenerla viva perchè il suo indice assume sempre valore uguale all'indice dell'altra sommatoria.
Se poi il problema è la scelta della variabile da eliminare tra [tex]$h$[/tex] e [tex]$k$[/tex], beh questo è un falso problema: infatti, come fai notare, le variabili di sommatoria sono mute, quindi alla fine puoi anche scrivere:
[tex]$\sum_{h=1}^n \sum_{k=1}^n \Lambda_{h,i}\Lambda_{k,j} \delta_{h,k}=\sum_{\text{Pippo}=1}^n \Lambda_{\text{Pippo},i}\Lambda_{\text{Pippo},j}$[/tex]
e non ti cambia nulla.
"gugo82":
invero, dato che sei in presenza del vincolo [tex]$h=k$[/tex], la prima sommatoria non ha senso tenerla viva perchè il suo indice assume sempre valore uguale all'indice dell'altra sommatoria.
Per prima sommatoria intendi quella interna o quella esterna?
Praticamente, io ho ragionato così: dato che [tex]\delta_{h,k}=0[/tex] se e solo se [tex]h\neq k[/tex] e [tex]\delta_{h,k}=1[/tex] se e solo se [tex]h=k[/tex], ne consegue che tutti i termini per i quali [tex]h \neq k[/tex] valgono [tex]0[/tex] ed i rimanenti, che sono quelli che ci interessano sostanzialmente, sono non nulli (almeno non lo sono salvo il caso in cui non lo siano gli altri fattori).
Poi alla luce di ciò, è manifesto che vale il fatto di "Pippo" (!).
Il mio ragionamento va bene?
"Andrea90":
[quote="gugo82"]invero, dato che sei in presenza del vincolo [tex]$h=k$[/tex], la prima sommatoria non ha senso tenerla viva perchè il suo indice assume sempre valore uguale all'indice dell'altra sommatoria.
Per prima sommatoria intendi quella interna o quella esterna?[/quote]
In realtà è indifferente quale scegli di eliminare.
Per comodità prendi quella più esterna.
"Andrea90":
Praticamente, io ho ragionato così: dato che [tex]\delta_{h,k}=0[/tex] se e solo se [tex]h\neq k[/tex] e [tex]\delta_{h,k}=1[/tex] se e solo se [tex]h=k[/tex], ne consegue che tutti i termini per i quali [tex]h \neq k[/tex] valgono [tex]0[/tex] ed i rimanenti, che sono quelli che ci interessano sostanzialmente, sono non nulli (almeno non lo sono salvo il caso in cui non lo siano gli altri fattori).
Poi alla luce di ciò, è manifesto che vale il fatto di "Pippo" (!).
Il mio ragionamento va bene?
Praticamente è quello che ti suggerivo nel mio post precedente.
Perfetto! Tutto chiaro! Grazie di tutto!
Tutto chiaro! Grazie di tutto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo