Passaggio non chiaro sul metodo del Gradiente

[*pizzaf40]

Ho messo la spiegazione un po' più dettagliata per capire il problema nella tapparella quì sotto

Essendo:

$Ah=b$ ---> sistema lineare da risolvere
$x$ ---> approssimazione di $h$
$e$ ---> errore
$r$ ---> residuo

il metodo del gradiente consiste nel minimizzare la funzione $Phi=(h-x)^T(b-Ax)=e^Tr=(h-x)^TA(h-x)=e^TAe$
La funzione $Phi$ prende il suo valore minimo ($Phi=0$) nel momento in cui $x$ coincide con la soluzione $h$.
Per minimizzare $Phi$ si prende una sua curva di livello $Phi=C$ (che risulta un iper-ellissoide) e ci si muove lungo la direzione del gradiente fino al minimo locale, per poi prendere il nuovo valore di $C$, il nuovo gradiente, e spostarsi nuovamente fino alla soluzione sufficientemente approssimata.

Per rendere chiaro che $Phi=C$ è un'iper-ellissoide, viene fatto il seguenta cambio di coordinate:

$x-h=Uz$

con $z$ che il vettore delle nuove coordinate, e $U$ la matrice degli autovettori di $A$. $U$ è ortogolnale, quindi $U^T=U^-1$...dunque:

$Phi=z^TU^TAUz=z^TLambdaz=C$

con $Lambda$ che è la matrice diagonale di autovettori...quindi si sviluppa $lambda_1z_1+lambda_2z_2+...+lambda_nz_n=cost$...che è la formula di un iper-ellissoide di assi $sqrt(C/lambda_1),sqrt(C/lambda_2), ... ,sqrt(C/lambda_n)$......il nuovo sistema risulta dunque con origine nel centro dell'iper-ellissoide, quindi nella soluzione!

Il metodo del gradiente aggiorna l'approssimazione della soluzione con $x_(k+1)=x_k+alpha_kp_k$ in cui $p_k$ è la direzione del gradiente, e $alpha_k$ uno scalare che minimizza localmente $Phi$

Il mio problema consiste nel capire perchè, nel sistema di riferimento con origine nella soluzione, risulta che:

$p_k=Lambdaz_k$ ---> ???????????

Poi il testo, a partire da questa, torna nel sistema di riferimento iniziale, trova $p_k$ ne vecchio sistema e definisce $alpha_k$ che minimizza $Phi$...l'unico passaggio che mi manca è questo...mi sapete dare una mano nel capirlo? Grazie per ogni risposta...Buon Anno!!!!

[*pizzaf40]

con $Lambda$ che è la matrice diagonale di autovettori

Scusate, c'era un errore....autovalori, non autovettori...

[*pizzaf40]

Sono in ginocchio davanti a voi che vi offro un bicchiere di grappa in cambio di una risposta attendibile ...aiuto...sono disposto ad arrivare a tre bicchierini per una spiegazione precisa, e una bottiglia se mi firmate l'esame sul libretto...2 bottiglie per 28...5 bottiglie per 30 (di Grappa Nonino)...capito prof???