Passaggio non capito in un integrale...

[a.Smith1]

Inanzitutto salve, vorrei domandarvi come, dopo un cambio di variabile, questo integrale diventa come al passo 2 e poi come dal passo 2 si arriva al 3...

passo 1: $int_-1^1 t^2/(t^2+3t+2) dt$

passo 2: $int_-1^1 1-(3t+2)/(t^2+3t+2) dt$

passo 3: $1 + int_0^1 1/(t+1)dt - 4 int_0^1 1/(t+2) dt$

Se servisse scrivo anche l'integrale di partenza, ovvero: $int_1^e (ln^2x)/(ln^2x+3lnx+2) dx$

grazie per un eventuale interessamento sulla questione
grazie
ciao

[_Tipper]

Al passo 2 ci arrivi facendo una divisione polinomiale fra numeratore e denominatore, e tenendo conto che:

$\frac{"dividendo"}{"divisore"}="quoziente"+\frac{"resto"}{"divisore"}$.

Dal passaggio 2 al passaggio 3 ci arrivi scomponendo in fratti semplici, ovvero:

$\frac{3t+2}{t^2+3t+2}=\frac{3t+2}{(t+1)(t+2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+2}$

Ora ti resta solo da determinare le costanti $A$ e $B$ in modo che questa uguaglianza sia vera.

[a.Smith1]

se non chiedo troppo come faccio a determinare A e B?
grazie

[leev]

A naso, oppure
dall'equazione
$\frac{3t+2}{(t+1)(t+2)}=A/(t+1) + B/(t+2)$.
Moltiplichi a destra e sinistra per (t+1)(t+2), dopodiche riordini, cosi da ottenere un polinomio di grado 1 in t=0.
A questo punto hai un sistema di 2 equazioni per determinare A e B.

[Aeon1]

"a.Smith":se non chiedo troppo come faccio a determinare A e B?
grazie

tA+2A+tB+B=t(A+B)+2A+B

sistema:
A+B=3
2A+B=2

[_Tipper]

$\frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2} = \frac{At+2A+Bt+B}{(t+1)(t+2)}= \frac{t(A+B)+2A+B}{(t+1)(t+2)}=\frac{3t+2}{(t+1)(t+2)}$

E questa uguaglianza vale se e solo se:

$\{(A+B=3),(2A+B=2):}$

Potevi fare anche così:

$A=\lim_{t \rightarrow -1}(t+1)\frac{3t+2}{(t+1)(t+2)}$

$B=\lim_{t \rightarrow -2}(t+2)\frac{3t+2}{(t+1)(t+2)}$

[a.Smith1]

inanzitutto grazie infinite per le complete e chiarissime risposte che mi avete dato, volevo chiedere, come ultima cosa per quanto riguarda questo integrale, come mai dopo il cambiamento di variabile $t=lnx$ gli estremi cambiando da $int_1 ^e$ a $int_0^1$

$int_1^e (ln^2x)/(x(ln^2x+3lnx+2)) dx = int_0^1 t^2/(t^2+3t+2) dt$

ps: l'integrale cambia un pò da quello del primo post, errore di digit...

[spassky]

"a.Smith":inanzitutto grazie infinite per le complete e chiarissime risposte che mi avete dato, volevo chiedere, come ultima cosa per quanto riguarda questo integrale, come mai dopo il cambiamento di variabile $t=lnx$ gli estremi cambiando da $int_1 ^e$ a $int_0^1$

Quando la variabile era x essa variava tra 1 ed $e$, visto il cambio di variabile $t=ln(x)$, applicando l'operatore $ln$ agli estremi, essi diventano $ln(1)$ e $ln(e)$ che sono proprio 0 e 1.