Passaggio nella serie di fourier
$ f(t)= sum_{n=-00}^{+oo} Cn e^(jnt) $
$W =1$ $ T=2pi$
$Co$ mi viene 1/2
$Cn$ mi viene $j/(n2pi)( cosnpi -1 )
quindi per n pari $Cn =-j/(npi)$
per n dispari $Cn=0$
$f(t)=1/2 sum_{n=-oo}^{+oo} -j/((2n+1)pi) e^((2n+1)t) $
Come fa a venire ?
$1/2+sum_{n=1}^{+oo} 2/pi 1/(2n+1) sen (2n +1)t$
il due sopra al pigreco subito dopo la sommatoria l'ho capito, però non ho capito perchè viene il sen?
p.s.in questo tipo di esercizi il segnale regolarizzato è $ f(t)= sum_{n=-00}^{+oo} Cn e^(jnt) $?
$W =1$ $ T=2pi$
$Co$ mi viene 1/2
$Cn$ mi viene $j/(n2pi)( cosnpi -1 )
quindi per n pari $Cn =-j/(npi)$
per n dispari $Cn=0$
$f(t)=1/2 sum_{n=-oo}^{+oo} -j/((2n+1)pi) e^((2n+1)t) $
Come fa a venire ?
$1/2+sum_{n=1}^{+oo} 2/pi 1/(2n+1) sen (2n +1)t$
il due sopra al pigreco subito dopo la sommatoria l'ho capito, però non ho capito perchè viene il sen?
p.s.in questo tipo di esercizi il segnale regolarizzato è $ f(t)= sum_{n=-00}^{+oo} Cn e^(jnt) $?
Risposte
La cosa mi risulta un po' strana... sei sicuro di aver calcolato bene $ C_(n) $ ? Qual è il segnale di partenza della cui replica periodica vuoi fare la serie di Fourier?
considera il segnale periodico y=1 tra $[0,pi]$ y=1 tra $[2pi,3pi]
Innanzitutto il risultato è sbagliato... infatti o fai partire la sommatoria da zero oppure metti $ 2n-1 $ al posto di $ 2n+1 $ .
Ho notato che hai avuto difficoltà a passare dalla serie esponenziale a quella trigonometrica... prima di vedere se n è pari o dispari devi determinare il generico coefficiente $ a_(n) $ e il generico coefficiente $ b_(n) $ , chiamando $ a_(n) $ quello che affianca il coseno e $ b_(n) $ quello che affianca il seno. Ora siccome il segnale ottenuto come replica periodica del segnale che mi hai scritto tu è un segnale dispari (cioè è simmetrico rispetto all'origine degli assi), ne segue che i coefficienti $ a_(n) $ si annullano (eccetto ovviamente $ a_(0) $ che tu hai calcolato correttamente e che vale $ 1/2 $ ). I vari $ b_(n) $ non si annullano, o meglio si annullano solo nel caso in cui n sia pari, mentre per n dispari otteniamo il risultato che hai scritto tu, con l'opportuna modifica di far partire la sommatoria da zero, altrimenti se la sommatoria parte da 1, il primo n sarà del tipo $ 2n+1 $ ovvero 3 e quindi prendi tutti i numeri dispari escluso 1. Spero di aver chiarito i tuoi dubbi.
Ho notato che hai avuto difficoltà a passare dalla serie esponenziale a quella trigonometrica... prima di vedere se n è pari o dispari devi determinare il generico coefficiente $ a_(n) $ e il generico coefficiente $ b_(n) $ , chiamando $ a_(n) $ quello che affianca il coseno e $ b_(n) $ quello che affianca il seno. Ora siccome il segnale ottenuto come replica periodica del segnale che mi hai scritto tu è un segnale dispari (cioè è simmetrico rispetto all'origine degli assi), ne segue che i coefficienti $ a_(n) $ si annullano (eccetto ovviamente $ a_(0) $ che tu hai calcolato correttamente e che vale $ 1/2 $ ). I vari $ b_(n) $ non si annullano, o meglio si annullano solo nel caso in cui n sia pari, mentre per n dispari otteniamo il risultato che hai scritto tu, con l'opportuna modifica di far partire la sommatoria da zero, altrimenti se la sommatoria parte da 1, il primo n sarà del tipo $ 2n+1 $ ovvero 3 e quindi prendi tutti i numeri dispari escluso 1. Spero di aver chiarito i tuoi dubbi.
"Kroldar":
altrimenti se la sommatoria parte da 1, il primo n sarà del tipo $ 2n+1 $ ovvero 3 e quindi prendi tutti i numeri dispari escluso 1. Spero di aver chiarito i tuoi dubbi.
quindi ho fatto bene?che cosa è che non va allora?
quindi quando devo fare gli esercizi devo sempre anche calcolarmi?
$a_(n)= int_{T/2}^{T/2}f(t)cosnwt dt$
e $b_(n)= int_{T/2}^{T/2}f(t)sennwt dt$?
io generalmente faccio prima Co e poi mi calcolo Cn
EDIT: ho modificato erroneamente questo pst creando un "casino"
[quote=Bandit]Che cambia se scelgo 2n-1 o sn+1?
Cambia che con 2n+1 escludi il caso di n=1 che non va escluso, quindi per non escluderlo metti 2n-1.
Si dimostra abbastanza semplicemente che se il segnale è pari i coefficienti $ b_(n) $ si annullano , mentre se il segnale è dispari si annullano gli $ a_(n) $
Per quanto riguarda la serie esponenziale e trigonometrica, dicevo che ti sei calcolato agevolmente la serie esponenziale... le difficoltà le hai avute quando hai cercato di passare a quella trigonometrica.
L'ultima domanda non l'ho capita.
Cambia che con 2n+1 escludi il caso di n=1 che non va escluso, quindi per non escluderlo metti 2n-1.
Si dimostra abbastanza semplicemente che se il segnale è pari i coefficienti $ b_(n) $ si annullano , mentre se il segnale è dispari si annullano gli $ a_(n) $
Per quanto riguarda la serie esponenziale e trigonometrica, dicevo che ti sei calcolato agevolmente la serie esponenziale... le difficoltà le hai avute quando hai cercato di passare a quella trigonometrica.
L'ultima domanda non l'ho capita.
Mi soffermo un attimo sul perché si annullano i coefficienti nel caso di un segnale pari o dispari. Come tu ben sai, i coefficienti puoi ottenerli con la trasformata di Fourier. Tuttavia si possono ottenere anche con un integrale. Siccome il segnale è periodico, anziché fare l'integrale tra 0 e T, puoi farlo tra -T/2 e T/2. Ora ricordiamo che il coseno è funzione pari e il seno funzione dispari. Se il segnale è dispari, moltiplicato per il coseno che è funzione pari, si annulla tra -T/2 e T/2. Stesso discorso nel caso di un segnale pari, che si annulla se moltiplicato per un segnale dispari (il seno) tra -T/2 e T/2.
"Kroldar":
Mi soffermo un attimo sul perché si annullano i coefficienti nel caso di un segnale pari o dispari. Come tu ben sai, i coefficienti puoi ottenerli con la trasformata di Fourier. Tuttavia si possono ottenere anche con un integrale. Siccome il segnale è periodico, anziché fare l'integrale tra 0 e T, puoi farlo tra -T/2 e T/2. Ora ricordiamo che il coseno è funzione pari e il seno funzione dispari. Se il segnale è dispari, moltiplicato per il coseno che è funzione pari, si annulla tra -T/2 e T/2. Stesso discorso nel caso di un segnale pari, che si annulla se moltiplicato per un segnale dispari (il seno) tra -T/2 e T/2.
ok siamo a cavallo
"Kroldar":
altrimenti se la sommatoria parte da 1, il primo n sarà del tipo $ 2n+1 $ ovvero 3 e quindi prendi tutti i numeri dispari escluso 1. Spero di aver chiarito i tuoi dubbi.
quindi ho fatto bene?che cosa è che non va allora?
quindi quando devo fare gli esercizi devo sempre anche calcolarmi?
$a_(n)= int_{T/2}^{T/2}f(t)cosnwt dt$
e $b_(n)= int_{T/2}^{T/2}f(t)sennwt dt$?
io generalmente faccio prima Co e poi mi calcolo Cn, basta
Esistono due note relazioni che sono le seguenti: $ a_(n) = c_(n) + c_(-n) $ e $ b_(n) = j ( c_(n) - c_(-n) ) $ quindi per calcolare $ a_(n) $ e $ b_(n) $ non occorre risolvere gli integrali, ma fare due piccole somme. I coefficienti $ c_(n) $ sono quelli della serie esponenziale di Fourier, ma come ben sai, la serie di Fourier è definita in modo da minimizzare lo scarto quadratico su un generico sistema ortonormale, quindi se al posto del sistema esponenziale prendi il sistema trigonometrico, ottieni una nuova serie di Fourier che ha coefficienti diversi da quella esponenziale, ecco perché è necessario calcolare $ a_(n) $ e $ b_(n) $ se vuoi trovare la serie trigonometrica.
Due parole sui numeri nella forma $ 2n+1 $ . Noi vogliamo ottenere la successione di tutti i numeri dispari... prendiamo i numeri del tipo $ 2n+1 $ e inseriamo tutti i numeri naturali a partire da 1 in poi: otteniamo 3,5,7,9,11,13 e così via. Ora prendiamo i numeri del tipo $ 2n-1 $ e inseriamo tutti i numeri naturali a partire da 1 in poi: otteniamo 1,3,5,7,9,11,13 e così via. Le due successioni sono identiche eccetto che per il fatto che la prima parte da 3 e non contiene TUTTI i numeri dispari, poiché 1 è escluso. Ecco che la seconda è più adatta. Se il mio argomento non ti convince, ti propongo una verifica. Siccome in uno spazio di Hilbert un segnale periodico è approssimato dalla sua serie di Fourier, prova a trovare la serie di Fourier del segnale di cui parlavi prima usando $ 2n+1 $ ... scrivi i primi 4 o 5 termini e simulane il grafico al calcolatore. Avrai un grafico discostante da quello del segnale da te scelto. Con $ 2n-1 $ invece, avrai un grafico molto simile a quello di partenza.
Due parole sui numeri nella forma $ 2n+1 $ . Noi vogliamo ottenere la successione di tutti i numeri dispari... prendiamo i numeri del tipo $ 2n+1 $ e inseriamo tutti i numeri naturali a partire da 1 in poi: otteniamo 3,5,7,9,11,13 e così via. Ora prendiamo i numeri del tipo $ 2n-1 $ e inseriamo tutti i numeri naturali a partire da 1 in poi: otteniamo 1,3,5,7,9,11,13 e così via. Le due successioni sono identiche eccetto che per il fatto che la prima parte da 3 e non contiene TUTTI i numeri dispari, poiché 1 è escluso. Ecco che la seconda è più adatta. Se il mio argomento non ti convince, ti propongo una verifica. Siccome in uno spazio di Hilbert un segnale periodico è approssimato dalla sua serie di Fourier, prova a trovare la serie di Fourier del segnale di cui parlavi prima usando $ 2n+1 $ ... scrivi i primi 4 o 5 termini e simulane il grafico al calcolatore. Avrai un grafico discostante da quello del segnale da te scelto. Con $ 2n-1 $ invece, avrai un grafico molto simile a quello di partenza.
Ci sono anche per la seconda parte, ok chiarissimo.
Per la prima parte invece......così così
cioè tu quindi come la risolveresti un eserzio di questo? non è la stessa cosa trovare la serie con i $c_(n)$ o con i $a_(n)$ e $b_(n)$ per risolverla??
Per la prima parte invece......così così
cioè tu quindi come la risolveresti un eserzio di questo? non è la stessa cosa trovare la serie con i $c_(n)$ o con i $a_(n)$ e $b_(n)$ per risolverla??
Piano piano stiamo fugando ogni dubbio. Spero che questa volta ci siamo. La serie di Fourier di un segnale periodico è definita rispetto a un sistema ortonormale. Il sistema esponenziale è un sistema ortonormale... anche il sistema trigonometrico lo è però. I coefficienti $ c_(n) $ ti servono se vuoi trovare la serie di Fourier rispetto al sistema esponenziale... se lo vuoi trovare rispetto alla serie trigonometrica devi usare gli $ a_(n) $ e i $ b_(n) $ . Ora tu dirai... allora se voglio usare il sistema trigonometrico i $ c_(n) $ non mi servono?? Invece ti servono, poiché gli $ a_(n) $ e i
$ b_(n) $ li puoi calcolare facilmente a partire dai $ c_(n) $ . Sicuramente il primo passo da compiere per risolvere questo tipo di esercizi è calcolare $ c_(n) $ . Se ti interessa la serie esponenziale hai finito, altrimenti se vuoi la serie trigonometrica devi effettuare qualche piccola operazione e calcolare $ a_(n) $ e $ b_(n) $ . Cmq non preoccuparti... poiché la serie esponenziale e la serie trigonometrica sono in stretta relazione e, trovare l'una vuol dire (effettuati piccoli semplici passaggi) trovare anche l'altra. Non so a te come è stata introdotta la serie di Fourier... non vorrei complicarti le idee. Noto cmq, anche in altri tuoi post, che stai trattando una parte molto della matematica: l'analisi complessa. Per quale esame la devi studiare? Se ho visto giusto dovrebbe essere Metodi Matematici per l'Ingegneria... o no?
$ b_(n) $ li puoi calcolare facilmente a partire dai $ c_(n) $ . Sicuramente il primo passo da compiere per risolvere questo tipo di esercizi è calcolare $ c_(n) $ . Se ti interessa la serie esponenziale hai finito, altrimenti se vuoi la serie trigonometrica devi effettuare qualche piccola operazione e calcolare $ a_(n) $ e $ b_(n) $ . Cmq non preoccuparti... poiché la serie esponenziale e la serie trigonometrica sono in stretta relazione e, trovare l'una vuol dire (effettuati piccoli semplici passaggi) trovare anche l'altra. Non so a te come è stata introdotta la serie di Fourier... non vorrei complicarti le idee. Noto cmq, anche in altri tuoi post, che stai trattando una parte molto della matematica: l'analisi complessa. Per quale esame la devi studiare? Se ho visto giusto dovrebbe essere Metodi Matematici per l'Ingegneria... o no?
"Kroldar":
, che stai trattando una parte molto della matematica: l'analisi complessa. Per quale esame la devi studiare? Se ho visto giusto dovrebbe essere Metodi Matematici per l'Ingegneria... o no?
si è per quell'esame.
Cmq molto cosa?
A me è stato detto solo di risolvare trovando la serie di fourier, lasciando la libertà di trovarla con i cn o con i an bn
Molto interessante... era questa la parola mancante.
non essere enigmatico
e poi molto cosa?
e poi molto cosa?
Mi risulta difficile essere più chiaro. "una parte molto INTERESSANTE della matematica"... ma avevo saltato la parola "interessante".
cmq nella risoluzione, ho fatto bene a patto che sia così?
$f(t)=1/2 sum_{n=-oo}^{+oo} -j/((2n-1)pi) e^((2n-1)t)?
e basta? se voglio trasformarla con i gli an e bn?
$f(t)=1/2 sum_{n=-oo}^{+oo} -j/((2n-1)pi) e^((2n-1)t)?
e basta? se voglio trasformarla con i gli an e bn?
consideriamo allora l'onda qudra:
che ha valora 1 e -1
con $T=2pi$ e quindi $w=1$
co=0 e
cn=$1/(npi) cosnpi$
come fa a venire $sum_{n=1}^{+oo}( -2((-1)^n -1))/(npi) sen nt
e nella forma esponenziale $sum_{n=-00}^{+oo}((-1)^n-1)/(npi)je^(jnt)
mi interessa proprio a livello di calcoli
che ha valora 1 e -1
con $T=2pi$ e quindi $w=1$
co=0 e
cn=$1/(npi) cosnpi$
come fa a venire $sum_{n=1}^{+oo}( -2((-1)^n -1))/(npi) sen nt
e nella forma esponenziale $sum_{n=-00}^{+oo}((-1)^n-1)/(npi)je^(jnt)
mi interessa proprio a livello di calcoli
Scusa potresti specificare il segnale di cui l'onda è replica periodica?
x(t), che ha un valore
1 per $2mpi <=t< (2m+1)pi$
-1 per $(2m+1)pi <=t< (2m+2)pi$
1 per $2mpi <=t< (2m+1)pi$
-1 per $(2m+1)pi <=t< (2m+2)pi$
Aspe forse ho capito... se non erro il segnale dovrebbe essere $ -[u(t+pi)-u(t)]+[u(t)-u(t-pi)] $ ... in tal caso hai sbagliato a calcolare $ c_(n) $, infatti $ c_(n) $ è uguale a $ j((-1)^n-1)/(npi) $. A livello di calcoli mi risulta difficile spiegartelo poiché io $c_(n)$ lo trovo con la trasformata di Fourier e, se ancora non l'hai approfondita, non mi seguiresti nel discorso.
il segnale è quello dell'onda qudra, che ha l'espressione che ti ho dato nel mio ultimo messaggio. ora non so quello che tu hai scritto. (questo è un esercizio preso dal libro e quella che hai scritto tu non c'è scritto)
Cmq non ti preoccupare l'ho fatta la trasformata di fourier, che se poi da lo stesso risulatato la uso anche io
ciao
Cmq non ti preoccupare l'ho fatta la trasformata di fourier, che se poi da lo stesso risulatato la uso anche io
ciao
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