Passaggio nella dimostrazione del teorema delle funzioni implicite (caso bidimensionale)
Salve. Non mi è chiara la deduzione della continuità di $ f(x) $ nella seconda parte del teorema delle funzioni implicite (quella relativa alla regolarità delle soluzioni) che ho sui miei appunti. ( $ f:U->V $ è la funzione unica tale che $ F(x,y)=0 $. Per come l'ho definita nella prima parte del teorema, $ fin C^{\prime}(U) $ ed è tale che (tesi): $ f^{\prime}(x)=-(F_x(x,f(x)))/(F_y(x,f(x)) $ ).
Siano $ x $ e $ x_1 $ punti appartenenti ad $ U $ . Considero la funzione:
$ G(t)=F(x_1+t(x-x_1),f(x_1)+t(f(x)-f(x_1)) $ definita per $ tin [0,1] $
Noto che $ G(0)=F(x_1,f(x_1))=0 $ e che $ G(1)=F(x,f(x))=0 $. Inoltre $ G(t) $ è continua perchè $ G(t)in Wxx Vsub A $ ( $ Wxx V $ sono le dimensioni del rettangolo contenuto in $ A $, il dominio della funzione $ F:Asub R^2->R $ ) ed è derivabile per $ tin [0,1] $ infatti $ G^{\prime}(t)=F_x(P_t)(x-x_1)+F_y(P_t)(f(x)-f(x_1)) $ . Dunque si può applicare il teorema di Rolle: $ EE tau-= (xi ,eta ) in[0,1]:G^{\prime}(tau)=0 $ .
Poniamo $ xi =x_1+tau(x-x_1) $ e $ eta =f(x_1)+tau(f(x)-f(x_1)) $ . Risulta:
$ F_x(xi , eta)(x-x_1)+F_y(xi,eta)(f(x)-f(x_1))=0-> $
$ ->(f(x)-f(x_1))/(x-x_1)=-(F_x(xi,eta))/(F_y(xi,eta))->|f(x)-f(x_1)|<=(max |F_x|)/(min (F_y))*|x-x_1| $
In realtà al posto di minimo e massimo ci sarebbero l'inf e il sup di $ Wxx V $ ma non riuscivo a scriverlo. In ogni caso da quest'ultimo passaggio si deduce la continuità di $ f(x) $ ... ma non ho capito come
La parte restante finale è piuttosto semplice, perciò è inutile che la riporto.
Correzioni, oltre a questa, sono sempre accette. Grazie mille a chi risponderà. Spero si riescano a capire i passaggi pur non avendo riportato la dimostrazione della prima parte del teorema.
Siano $ x $ e $ x_1 $ punti appartenenti ad $ U $ . Considero la funzione:
$ G(t)=F(x_1+t(x-x_1),f(x_1)+t(f(x)-f(x_1)) $ definita per $ tin [0,1] $
Noto che $ G(0)=F(x_1,f(x_1))=0 $ e che $ G(1)=F(x,f(x))=0 $. Inoltre $ G(t) $ è continua perchè $ G(t)in Wxx Vsub A $ ( $ Wxx V $ sono le dimensioni del rettangolo contenuto in $ A $, il dominio della funzione $ F:Asub R^2->R $ ) ed è derivabile per $ tin [0,1] $ infatti $ G^{\prime}(t)=F_x(P_t)(x-x_1)+F_y(P_t)(f(x)-f(x_1)) $ . Dunque si può applicare il teorema di Rolle: $ EE tau-= (xi ,eta ) in[0,1]:G^{\prime}(tau)=0 $ .
Poniamo $ xi =x_1+tau(x-x_1) $ e $ eta =f(x_1)+tau(f(x)-f(x_1)) $ . Risulta:
$ F_x(xi , eta)(x-x_1)+F_y(xi,eta)(f(x)-f(x_1))=0-> $
$ ->(f(x)-f(x_1))/(x-x_1)=-(F_x(xi,eta))/(F_y(xi,eta))->|f(x)-f(x_1)|<=(max |F_x|)/(min (F_y))*|x-x_1| $
In realtà al posto di minimo e massimo ci sarebbero l'inf e il sup di $ Wxx V $ ma non riuscivo a scriverlo. In ogni caso da quest'ultimo passaggio si deduce la continuità di $ f(x) $ ... ma non ho capito come
La parte restante finale è piuttosto semplice, perciò è inutile che la riporto.Correzioni, oltre a questa, sono sempre accette. Grazie mille a chi risponderà. Spero si riescano a capire i passaggi pur non avendo riportato la dimostrazione della prima parte del teorema.
Risposte
Se non mi sbaglio questa è la definizione di lipschitzianità, dove il rapporto tra sup e inf è la costante di lipschitz; la lipschitzianità implica la continuità e quindi puoi concludere che f è continua
Hai ragione! Ti ringrazio, non mi era proprio venuta in mente questa cosa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo