Passaggio matematico per ricavare accelerazione
Ciao ragazzi!
Sto cercando di capire un passaggio matematico che non mi torna. Il problema è che il mio libro affronta l'argomento in sè semplice in una maniera un po' più complessa.
Il punto della questione è che : data la velocità generalizzata, devo ricavare l'accelerazione. Ovviamente devo derivare rispetto al tempo, ma credo di sbagliare da qualche parte. Vi riporto quanto dice il mio libro.
Dati due punti $P_j $ e $ P_1 $ in un sistema di riferimento galileiano, è definito il vettore $ bar(P_jP_1) = x_j - x_1 $
In un sistema di riferimento mobile il vettore $ bar(P_jP_1) = x_j - x_1 $ avrà certe coordinate che chiamiamo $X_j $
che si ottengono da quelle del sistema fisso mediante una trasformazione ortogonale.
Avremo quindi che $ RX_j = x_j - x_1 $.
Esplicitando ora $ x_j $ e derivando rispetto al tempo, otteniamo la velocità $ v_j $ la quale sarà:
$ v_j = RV_j + omega xx ( x_j - x_1) + v_1 = R(V_j + Omega xx X_j) + v_1 $ [essendo $omega = ROmega$ ]
a questo punto bisogna derivare un'altra volta per trovare la seguente espressione dell'accelerazione
$ a_j = R(A_j + 2Omega xx V_j + dotOmega xx X_j + Omega xx (Omega xx X_j)) + a_1 $
il problema è che io derivo la velocità scritta sopra, ma non riesco a ricavare la formula finale dell'accelerazione. Sapreste darmi una mano? Grazie mille per la risposta
Sto cercando di capire un passaggio matematico che non mi torna. Il problema è che il mio libro affronta l'argomento in sè semplice in una maniera un po' più complessa.
Il punto della questione è che : data la velocità generalizzata, devo ricavare l'accelerazione. Ovviamente devo derivare rispetto al tempo, ma credo di sbagliare da qualche parte. Vi riporto quanto dice il mio libro.
Dati due punti $P_j $ e $ P_1 $ in un sistema di riferimento galileiano, è definito il vettore $ bar(P_jP_1) = x_j - x_1 $
In un sistema di riferimento mobile il vettore $ bar(P_jP_1) = x_j - x_1 $ avrà certe coordinate che chiamiamo $X_j $
che si ottengono da quelle del sistema fisso mediante una trasformazione ortogonale.
Avremo quindi che $ RX_j = x_j - x_1 $.
Esplicitando ora $ x_j $ e derivando rispetto al tempo, otteniamo la velocità $ v_j $ la quale sarà:
$ v_j = RV_j + omega xx ( x_j - x_1) + v_1 = R(V_j + Omega xx X_j) + v_1 $ [essendo $omega = ROmega$ ]
a questo punto bisogna derivare un'altra volta per trovare la seguente espressione dell'accelerazione
$ a_j = R(A_j + 2Omega xx V_j + dotOmega xx X_j + Omega xx (Omega xx X_j)) + a_1 $
il problema è che io derivo la velocità scritta sopra, ma non riesco a ricavare la formula finale dell'accelerazione. Sapreste darmi una mano? Grazie mille per la risposta
Risposte
I termini dentro la parentesi sono nell'ordine:
- l'accelerazione lineare del punto
- l'accelerazione di Coriolis
- l'accelerazione tangenziale dovuta ad una variazione della velocità angolare
- l'accelerazione centripeta.
Dovresti cercare "accelerazione in coordinate polari" per avere una dimostrazione più dettagliata.
Ad esempio qui fanno vedere i vari passaggi, anche se con una notazione diversa:
http://www.science.unitn.it/~fisica1/fi ... polari.htm .
- l'accelerazione lineare del punto
- l'accelerazione di Coriolis
- l'accelerazione tangenziale dovuta ad una variazione della velocità angolare
- l'accelerazione centripeta.
Dovresti cercare "accelerazione in coordinate polari" per avere una dimostrazione più dettagliata.
Ad esempio qui fanno vedere i vari passaggi, anche se con una notazione diversa:
http://www.science.unitn.it/~fisica1/fi ... polari.htm .
Grazie quinzio,
purtroppo non ho trovato niente ! Non ci sarebbe qualcuno in grado di derivare correttamente?
purtroppo non ho trovato niente ! Non ci sarebbe qualcuno in grado di derivare correttamente?
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