Passaggio matematico in equazione fisica

[Sk_Anonymous]

Salve ragazzi, sto studiando delle cose di fisica e mi ritrovo con questa equazione:
$(f_1(x_0+Deltax,y_0,z_0)-f_1(x_0,y_0,z_0))/(Delta x)+(f_2(x_0,y_0+Delta y,z_0)-f_2(x_0,y_0,z_0))/(Delta y)$
$+(f_3(x_0,y_0,z_0+Delta z)-f_3(x_0,y_0,z_0))/(Delta z)+a=b$, dove $a$ e $b$ sono delle costanti.
Ora il mio testo di fisica riscrive questa equazione come:
$(del f_1)/(del x)+(del f_2)/(del y)+(del f_3)/(del z)+a=b$.
Qualcuno può darmi delle delucidazioni su questo passaggio?
Grazie.

[dissonance]

E' passato al limite. Se quella equazione sussiste per ogni incremento \(\Delta x, \Delta y, \Delta z\), deve sussistere anche nel limite \(\Delta x, \Delta y, \Delta z \to 0\).

[Camillo]

Se è sottinteso un passaggio al limite per $Delta x , Delta y , Delta z rarr 0 $ allora una è conseguenza dell'altra.
Così Infatti i tre addendi sono le derivate parziali delle funzioni $f_1,f_2,f_3 $

[gugo82]

Se hai studiato Analisi II, non vedo dove sia il problema.
Quando \(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z\approx 0\) a cosa sono vicini quei rapporti incrementali?

[Sk_Anonymous]

"dissonance":E' passato al limite. Se quella equazione sussiste per ogni incremento \(\Delta x, \Delta y, \Delta z\), deve sussistere anche nel limite \(\Delta x, \Delta y, \Delta z \to 0\).

Ciao. Quindi quel passaggio è lecito soltanto se quei tre rapporti incrementali sono costanti?

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Se hai studiato Analisi II, non vedo dove sia il problema.
Quando \(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z\approx 0\) a cosa sono vicini quei rapporti incrementali?

Sono vicini alla derivata parziale. Però se per esempio le funzioni in questione non sono lineari, allora quel passaggio non è lecito. Per esempio se ho $(f(x_0+h)-f(x_0))/h=b$, con $b in RR$, allora potrò dire che $(df)/(dx)=b$ soltanto se la funzione $f(x)$ ha rapporto incrementale costante, cioè è lineare giusto?
Insomma, se è stato fatto quel passaggio vuol dire che era stata fatta l'ipotesi preliminare (cosa che i libri di fisica non fanno ) che le tre funzioni in questione erano lineari?
Grazie.

[dissonance]

Ma no, non andare a conclusioni troppo azzardate. C'è un'equazione, vera per ogni valore di una terna di parametri \(\Delta x, \Delta y, \Delta z\). Allora l'equazione è vera anche nel limite. Fine.

[gugo82]

"dissonance":C'è un'equazione, vera per ogni valore di una terna di parametri \(\Delta x, \Delta y, \Delta z\) [...]

... e per ogni fissato \((x_0,y_0,z_0)\) (suppongo)...