Passaggio Matematico

[fede161]

Ciao ragazzi !

Mi trovo in difficoltà con la dimostrazione del lemma di jordan. A un certo punto , fa un passaggio matematico che proprio non capisco : lo riporto qui

Considerando l'integrale $ int_(Cr) f(z)e^(iz)dz $ e operando le opportune parametrizzazioni $ z = re^(ivartheta) $

Prodede cosi

$ |int_(Cr) f(z)e^(iz)dz|= |int_(vartheta_1)^ (vartheta_2) f(re^(ivartheta))e^(ire^(ivartheta))ire^(ivartheta)dvartheta | <=
int_(vartheta_1)^ (vartheta_2) |f(re^(ivartheta))| re^(-rsinvartheta)dvartheta $

Ecco.. io non capisco come fa a definire quell'ultima disuguaglianza. Da dove viene fuori il seno? che semplificazione ha usato? sapreste dirmi come si fa?

Grazie mille per la risposta.

[Sk_Anonymous]

Tieni presente che è :
$|ir|=|i|r=r; |e^{itheta}|=|cos theta+i sin theta|=sqrt{cos^2theta+sin^2 theta}=1$
Pertanto hai:
$|e^{ire^{itheta}} cdot ir e^{itheta}|=|e^{ire^{itheta}}| cdot |ir| cdot |e^{itheta}|=|e^{ir(cos theta +i sin theta) }| cdot r cdot 1 =|e^{ircos theta-rsin theta}| r=r e^{-rsin theta} |e^{i(rcos theta)}|=r e^{-rsin theta} cdot 1=r e^{-rsin theta} $

[fede161]

Grazie mille !! Molto gentile adesso ho capito

[fede161]

Ah, mi sono dimenticato di chiederti una cosa:

L'ultimo passaggio.... perchè $ |e^(i(rcostheta))| $ è uguale a 1 ?

[DelCrossB]

In notazione polare un numero complesso può essere scritto nella forma \[ \displaystyle z=\rho e^{i \theta}\], dove $\rho$ è il modulo del numero e $\theta$ l'argomento. Ti aiuta questo?

[fede161]

sisi quello ho presente... però non capisco in che modo possa riversarsi qui..

[DelCrossB]

Te lo ha già mostrato ciromario più su, comunque:

\[ |e^{i(r\cos\theta)}|=|\cos(r\cos\theta)+i\sin(r\cos\theta)| = \sqrt{\cos^2 (r\cos\theta)+\sin^2(r\cos\theta)}=1 \].

[fede161]

aaaaaahhhh!!!! ecco !! adesso si che è ok! grazie mille