Passaggio Matematico
Ciao ragazzi !
Nella dimostrazione della convergenza della funzione esponenziale estesa al campo complesso, questa per intenderci $ e^z=\sum_{n = 0}^(oo)z^n/(n!) $
Mi dice che per affermare la sua convergenza, significa dire che la successione delle sue ridotte $ S_n(z)=\sum_{n = 0}^(N)z^n/(n!) $ definisce una successione di punti nel piano complesso. Dice poi che $ S_N $ soddisfa il criterio di Cauchy, E poi fa questa operazione:
$ |S_N - S_M|= |\sum_{n = M+1}^(N)z^n/(n!)| $
Come fa a fare questo passaggio? Non riesco a capirlo..
Vi ringrazio in anticipo
Nella dimostrazione della convergenza della funzione esponenziale estesa al campo complesso, questa per intenderci $ e^z=\sum_{n = 0}^(oo)z^n/(n!) $
Mi dice che per affermare la sua convergenza, significa dire che la successione delle sue ridotte $ S_n(z)=\sum_{n = 0}^(N)z^n/(n!) $ definisce una successione di punti nel piano complesso. Dice poi che $ S_N $ soddisfa il criterio di Cauchy, E poi fa questa operazione:
$ |S_N - S_M|= |\sum_{n = M+1}^(N)z^n/(n!)| $
Come fa a fare questo passaggio? Non riesco a capirlo..
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Vogliamo dimostrare questo passaggio : $|S_N - S_M|= |\sum_{n = M+1}^(N)z^n/(n!)|$
Se $N>M$, $S_{N}=\sum_{n = 0}^(N)z^n/(n!)$ e $S_{M}\sum_{n = 0}^(M)z^n/(n!)$
ovvero: $S_{N}=\sum_{n = 0}^(M)z^n/(n!)+\sum_{n = M+1}^(N)z^n/(n!)$
Scrivere
$ |S_N - S_M| $
significa considerare tutti i termini della sommatoria $S_n$ ($S_1,...,S_{N})$ e togliere quelli della sommatoria $S_M$ $(S_1....S_M)$.
Spero che il discorso sia chiaro e che fosse effettivamente questo il passaggio di cui avevi bisogno.
Se $N>M$, $S_{N}=\sum_{n = 0}^(N)z^n/(n!)$ e $S_{M}\sum_{n = 0}^(M)z^n/(n!)$
ovvero: $S_{N}=\sum_{n = 0}^(M)z^n/(n!)+\sum_{n = M+1}^(N)z^n/(n!)$
Scrivere
$ |S_N - S_M| $
significa considerare tutti i termini della sommatoria $S_n$ ($S_1,...,S_{N})$ e togliere quelli della sommatoria $S_M$ $(S_1....S_M)$.
Spero che il discorso sia chiaro e che fosse effettivamente questo il passaggio di cui avevi bisogno.
Ti ringrazio per la risposta.
Si, il passaggio credo sia quello. Ma perche scrivi che $ S_N=sum_(n=0)^(M)z^n/(n!)+ sum_(n=M+1)^(N)z^n/(n!) $ ?
Da dove è sbucato fuori il termine n= M + 1 ? E' proprio li che non capisco.
Grazie ancora per la risposta.
Si, il passaggio credo sia quello. Ma perche scrivi che $ S_N=sum_(n=0)^(M)z^n/(n!)+ sum_(n=M+1)^(N)z^n/(n!) $ ?
Da dove è sbucato fuori il termine n= M + 1 ? E' proprio li che non capisco.
Grazie ancora per la risposta.
"fede16":
Ti ringrazio per la risposta.
Si, il passaggio credo sia quello. Ma perche scrivi che $ S_N=sum_(n=0)^(M)z^n/(n!)+ sum_(n=M+1)^(N)z^n/(n!) $ ?
Grazie ancora per la risposta.
Se $N>M$ allora abbiamo che la successione dei numeri fino a $N$ si può scrivere così: $0,1,2,3,..,M-1,M,M+1,...,N$
quindi noi possiamo spezzare la sommatoria fino a $N$ (invece $n$ minuscolo è solo un indice, lo puoi anche chiamare $j$) in due parti: da $0$ a $M$ e da $M-1$ a $N$
"Clorinda":
noi possiamo spezzare la sommatoria fino a $N$ (invece $n$ minuscolo è solo un indice, lo puoi anche chiamare $j$) in due parti: da $0$ a $M$ e da $M-1$ a $N$
Forse Intendevi $M+1$ vero ?
Ti ringrazio molto adesso credo proprio di aver capito
Sì, certo, intendevo $M+1$!
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