Passaggio matematico

[fede161]

Ciao ragazzi!

Sto risolvendo un esercizio di analisi complessa.

L'esercizio dice:

Mostrare che:

$ \int_{0}^{\infty}dx/(1+x^6) = pi/3 $

Non sto a riportare qui tutta la soluzione dell 'esercizio perchè ho un dubbio su un passaggio matematico.

Una volta individuati i poli semplici il mio dice che:

$ int_(0)^(oo) dx/(1+x^6) = pi/6i(e^(-i5pi/6)+ e^(-i15pi/6)+ e^(-i25pi/6)) $

= $ pi/6i(-i-2isin(pi/6)) = ...... =.... = pi/3 $

Come fa a passare dagli esponenziali al seno? che passaggi usa?

Grazie in anticipo per la risposta

[Zero87]

"fede16":Come fa a passare dagli esponenziali al seno? che passaggi usa?

Suppongo che alla fine per ottenere l'integrale che ti interessa va presa la parte reale del risultato per quel poco che ricordo di "applicazione del teorema dei residui per il calcolo di integrali reali".

Fatto sta che utilizza la formula di Eulero: $e^(iy)= cos(y)+i sin(y)$.

Per es.
$e^(-i 5/6 \pi)= e^(i (-\frac{5\pi}{6}))= cos(-5/6 \pi)+i sin(-5/6 \pi)$
($= -\sqrt(3)/2-1/2 i$ se vuoi andare avanti, ma fa lo stesso).

Poi vedo - se non erro - che davanti a tutti hai una $i$ "sfusa" che sta a raccogliere il resto: ciò che è reale diventa immaginario e ciò che è immaginario diventa reale (cambiato di segno perché $i \cdot i = -1$) ed ecco che restano solo i seni quando prendi la parte reale.

'notte forum