Passaggio in un limite

[AnalisiZero]

Ciao,

In un esercizio a lezione si doveva cercare una successione tale che:
$lim_(n to +infty)((n+1)/(1+n^3))/a_n=1$
Dove $a_n$ è la successione da trovare.
La prof ha fatto così:
$lim_(n to +infty)(n+1)/(1+n^3)=lim_(n to +infty)1/n^2$
Quindi la successione cercata è $1/n^2$
Facendo questo lei ha usato il fatto che il limite del quoziente è il quoziente dei limiti (giusto?), ma questo non vale solo quando il limite di $a_n$ è diverso da $0$?
Nel nostro caso $1/n^2 rightarrow 0$

[anto_zoolander]

Ciao!

Non mi sembra che in quel limite si sia fatto qualcosa, si è solo posta un’uguaglianza.
Solitamente quando si vuole trovare qualcosa del genere si confronta una successione infinitesima con una del tipo $1/n^a$

In questo caso si avrebbe $((n+1)/(n^3+1))/(1/n^a)=n^a*[n/n^3*(1+1/n)/(1+1/n)]=n^(a-2)*((1+1/n)/(1+1/n^3))$

La quantità $(1+1/n)/(1+1/n^3)-> 1$ quindi deve essere $lim_(n->+infty)n^(a-2)=1$

È chiaro che si sta usando il teorema sul prodotto dei limiti.

- se $a-2<0$ allora quella cosa rende a zero
- se $a-2>0$ allora quella cosa rende a $+infty$
- se $a-2=0$ allora si ottiene $1$

Quindi la successione è $1/n^2$
Non può usare l’algebra dei limiti in una forma indeterminata, sarebbe come lavorare con $0/0$

Nota che deve esserci una forma indeterminata, quindi è necessario che il limite di $a_n$ sia $0$

[AnalisiZero]

Chiaro, grazie