Passaggio in coordinate sferiche
Ragazzi ma come si passa a coordinate cilindriche e sferiche come in questo caso:
Calcolare il volume della regione di spazio E contenuta nella sfera:
x^2+y^2+z^2<=2z
ed esterna al paraboloide:
z=>2(x^2+y^2)
In effetti so quali sono per definizione le coordinate cilindriche e sferiche però non ho capito come avviene il passaggio
quando in un esercizio vengono date le equazioni di un paraboloide o di una sfera come nell'esercizio di sopra....
Calcolare il volume della regione di spazio E contenuta nella sfera:
x^2+y^2+z^2<=2z
ed esterna al paraboloide:
z=>2(x^2+y^2)
In effetti so quali sono per definizione le coordinate cilindriche e sferiche però non ho capito come avviene il passaggio
quando in un esercizio vengono date le equazioni di un paraboloide o di una sfera come nell'esercizio di sopra....
Risposte
Io per fare questo esercizio ho ritenuto molto semplice passare a coordinate cilindriche.
Per trovare il volume richiesto è sufficiente calcolare il volume dell'intersezione del paraboloide e della sfera e sottrarlo al totale della sfera stessa.
La superficie del paraboloide in questione interseca la superficie sferica in $z=0$ e $z=3/2$; nel primo caso l'intersezione è un punto, nel secondo caso una circonferenza. Quindi il volume da trovare è quello del paraboloide fino a $z=3/2$ e quello del segmento sferico che completa l'intersezione dei due solidi.
Essendo: $r(3/2)=\sqrt{3}/2$ il raggio per tale valore di z, passando a coordiante cilindriche si ha:
$V=\int_Prdrd\thetadz+\int_Srdrd\thetadz$ $: P={(\theta,r,z)\inRR^3:0<=\theta<=2\pi,0<=r<=\sqrt{z/2},0<=z<=3/2}$ , $S={(\theta,r,z)\inRR^3:0<=\theta<=2\pi,\sqrt{2z-z^2}<=r<=\sqrt{3}/2,3/2<=z<=2}$
Quindi:
$V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{3/2}\int_0^{\sqrt{z/2}}rdrdz+\int_0^{2\pi}d\theta\int_{3/2}^{2}\int_{\sqrt{2z-z^2}}^{\sqrt{3}/2}rdrdz=\pi(\int_0^{3/2}[r^2]_0^{\sqrt{z/2}}dz+\int_{3/2}^{2}[r^2]_{\sqrt{2z-z^2}}^{\sqrt{3}/2}dz)=\pi(\int_0^{3/2}z/2dz+\int_{3/2}^{2}3/4-2z+z^2dz)=\pi([z^2/4]_0^{3/2}+[3/4z-z^2+z^3/3]_{3/2}^{2})=35/48\pi$
Infine, salvo errori:
$V_T=(4/3-35/48)\pi=29/48\pi
Per trovare il volume richiesto è sufficiente calcolare il volume dell'intersezione del paraboloide e della sfera e sottrarlo al totale della sfera stessa.
La superficie del paraboloide in questione interseca la superficie sferica in $z=0$ e $z=3/2$; nel primo caso l'intersezione è un punto, nel secondo caso una circonferenza. Quindi il volume da trovare è quello del paraboloide fino a $z=3/2$ e quello del segmento sferico che completa l'intersezione dei due solidi.
Essendo: $r(3/2)=\sqrt{3}/2$ il raggio per tale valore di z, passando a coordiante cilindriche si ha:
$V=\int_Prdrd\thetadz+\int_Srdrd\thetadz$ $: P={(\theta,r,z)\inRR^3:0<=\theta<=2\pi,0<=r<=\sqrt{z/2},0<=z<=3/2}$ , $S={(\theta,r,z)\inRR^3:0<=\theta<=2\pi,\sqrt{2z-z^2}<=r<=\sqrt{3}/2,3/2<=z<=2}$
Quindi:
$V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{3/2}\int_0^{\sqrt{z/2}}rdrdz+\int_0^{2\pi}d\theta\int_{3/2}^{2}\int_{\sqrt{2z-z^2}}^{\sqrt{3}/2}rdrdz=\pi(\int_0^{3/2}[r^2]_0^{\sqrt{z/2}}dz+\int_{3/2}^{2}[r^2]_{\sqrt{2z-z^2}}^{\sqrt{3}/2}dz)=\pi(\int_0^{3/2}z/2dz+\int_{3/2}^{2}3/4-2z+z^2dz)=\pi([z^2/4]_0^{3/2}+[3/4z-z^2+z^3/3]_{3/2}^{2})=35/48\pi$
Infine, salvo errori:
$V_T=(4/3-35/48)\pi=29/48\pi
Vista la simmetria che hanno entrambe le regioni di spazio rispetto all'asse z , senza cambiamento di coordinate , puoi ricondurti ad un caso forse più semplice di integrale di una funzione con una sola variabile ... In poche parole puoi vedere le due regioni come formate da tanti dischetti "orizzontali" di spessore infinitesimo dz e raggio in funzione di z ...
Quello che dici è esattamente uguale al passaggio a coordiante cilindriche, infatti è come se tu sezionassi con paino orizzontale e poi sommassi i vari dischetti infinitesimi. In effetti la formula che si usa per trovare il volume dei solidi di rotazione aventi $r=r(z)$ è:
$V=\pi\int_a^br^2(z)dz$
La quale deriva dallo svolgimento di questo integrale triplo:
$V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_a^b\int_0^{r(z)}rdrdz=\pi\int_a^br^2(z)dz$
$V=\pi\int_a^br^2(z)dz$
La quale deriva dallo svolgimento di questo integrale triplo:
$V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_a^b\int_0^{r(z)}rdrdz=\pi\int_a^br^2(z)dz$
Lo so che il risultato è lo stesso, il mio era solo un modo per fare qualche conto in meno utilizzando qualcosa di già noto.
Ragazzi io ho trovato lo svolgimento sul libro...il mio problema è che nn riesco a capire questo passaggio...
Si ha:
x^2+y^2+z^2<=2z
che rappresenta la sfera.
z=>2(x^2+y^2)
che rappresenta il paraboloide.
Il libro dice che passando in coordinate sferiche,la sfera si trasforma in:
[(rho,phi,theta):0<=theta<=2pigreco, 0<=phi<=pigreco/2, rho<=2cosphi]
ed il paraboloide si trasforma in:
[(rho,phi,theta):0<=theta<=2pigreco, 0<=phi<=pigreco/2, rho<=cosphi/2sen^2phi]
e poi dice che in coordinate polari l'insieme E si trasforma quindi in:
[(rho,phi,theta):0<=theta<=2pigreco, pigreco/6<=phi<=pigreco/2, cosphi/2sen^2phi<=rho<=2cosphi]
Quest'ultimo passaggio viene considerato come il dominio di integrazione per il calcolo dell'integrale triplo...
Il mio problema è che nn riesco a capire come fà a ricavarsi gli intervalli di theta e di phi...sono riuscito a capire solo come si ricava questo: rho<=2cosphi
Ho provato ad usare anche il passaggio da cartesiane a sferiche ma nn mi trovo con quello che il libro ha scritto....
Si ha:
x^2+y^2+z^2<=2z
che rappresenta la sfera.
z=>2(x^2+y^2)
che rappresenta il paraboloide.
Il libro dice che passando in coordinate sferiche,la sfera si trasforma in:
[(rho,phi,theta):0<=theta<=2pigreco, 0<=phi<=pigreco/2, rho<=2cosphi]
ed il paraboloide si trasforma in:
[(rho,phi,theta):0<=theta<=2pigreco, 0<=phi<=pigreco/2, rho<=cosphi/2sen^2phi]
e poi dice che in coordinate polari l'insieme E si trasforma quindi in:
[(rho,phi,theta):0<=theta<=2pigreco, pigreco/6<=phi<=pigreco/2, cosphi/2sen^2phi<=rho<=2cosphi]
Quest'ultimo passaggio viene considerato come il dominio di integrazione per il calcolo dell'integrale triplo...
Il mio problema è che nn riesco a capire come fà a ricavarsi gli intervalli di theta e di phi...sono riuscito a capire solo come si ricava questo: rho<=2cosphi
Ho provato ad usare anche il passaggio da cartesiane a sferiche ma nn mi trovo con quello che il libro ha scritto....
Qualcuno può darmi una mano su questo mio dubbio???....
Ci ho ragionato e forse credo in base alla figura dell'esercizio cioè se si ha un paraboloide è chiaro che si ha anche un cerchio e quindi l'intervallo di theta sarà: 0<=theta<=2pigreco.....è così???mi confermate??
Se il paraboloide è di rotazione sezionando con piani ortogonali all'asse ottieni di cerchi. Quindi direi si.
Però nell'esercizio in questione che ho postato nn riesco a capire perchè pone questo intervallo:
0<=phi<=pigreco/2 ???
0<=phi<=pigreco/2 ???
Quello è un'altro angolo, in coordiante sferche esistono 2 angoli... uno è quello di cui ti parlavo, poi c'è l'altro, la latitudine.
Dunque la latitutine in questo caso la si vede rispetto all'asse z....???
Si
Grazie mille!!!! 
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