Passaggio da Urang Utang a homo mathematicus
Salve, sono un ex urang utang che cerca di risolvere qualche problema di fisica usando la matematica vera. Ho un problema in cui voglio passare dalla forma urang utang alla forma formalmente giusta, e insomma mi trovo di fronte a un passaggio così:
$(dv)/dt (M - m) = (dm) / dt (v - v_g)$
ovviamente già si intuisce cosa succederà, ovvero semplifico il dt e porto al denominatore di dv dm, in pieno stile scimmiesco, ottenendo:
$(dv)/dt (M-m) = v - vg$
Se invece volessi fare il passaggio matematico giusto, avrei una cosa del tipo
$dotv (M - m) = dot m (v - v_g)$
e volevo chiedere come comportarmi per ottenere il risultato ottenuto con il metodo da fisico... credo che si tratti di un cambio di variabile, ma vorrei mi indicaste quale.
$(dv)/dt (M - m) = (dm) / dt (v - v_g)$
ovviamente già si intuisce cosa succederà, ovvero semplifico il dt e porto al denominatore di dv dm, in pieno stile scimmiesco, ottenendo:
$(dv)/dt (M-m) = v - vg$
Se invece volessi fare il passaggio matematico giusto, avrei una cosa del tipo
$dotv (M - m) = dot m (v - v_g)$
e volevo chiedere come comportarmi per ottenere il risultato ottenuto con il metodo da fisico... credo che si tratti di un cambio di variabile, ma vorrei mi indicaste quale.
Risposte
Io avrei fatto così
$M\dot v(t) - m(t)\dot v(t) - v(t)\dot m(t) + v_{g} \dot m(t) = 0$
da cui si nota che $m(t)\dot v(t) + v(t)\dot m(t) = \dot [[m(t)v(t)]]$ quindi
$M\dot v(t) - \dot [[m(t)v(t)]] + v_{g} \dot m(t) = 0$
integrando entrambi i membri in modo definito da $t_0$ a $t$ si ha
$\int_{t_0}^t M\dot v(x) - \dot [[m(x)v(x)]] + v_{g} \dot m(x) dx = \int_{t_0}^t 0 dx$
$[M v(x) - m(x)v(x) + v_{g} m(x) ]_{t_0}^t = 0$
$M v(t) - m(t)v(t) + v_{g}m(t) - (M v(t_0) - m(t_0)v(t_0) + v_{g}m(t_0)) = 0$
da cui ad esempio esplicitando $v(t)$ si ha con l'ipotesi di $M-m(t) \ne 0$ $\forall t$
$v(t)= (-v_{g}m(t) + Mv(t_0) - m(t_0)v(t_0) + v_{g}m(t_0))/(M-m(t)) $
$M\dot v(t) - m(t)\dot v(t) - v(t)\dot m(t) + v_{g} \dot m(t) = 0$
da cui si nota che $m(t)\dot v(t) + v(t)\dot m(t) = \dot [[m(t)v(t)]]$ quindi
$M\dot v(t) - \dot [[m(t)v(t)]] + v_{g} \dot m(t) = 0$
integrando entrambi i membri in modo definito da $t_0$ a $t$ si ha
$\int_{t_0}^t M\dot v(x) - \dot [[m(x)v(x)]] + v_{g} \dot m(x) dx = \int_{t_0}^t 0 dx$
$[M v(x) - m(x)v(x) + v_{g} m(x) ]_{t_0}^t = 0$
$M v(t) - m(t)v(t) + v_{g}m(t) - (M v(t_0) - m(t_0)v(t_0) + v_{g}m(t_0)) = 0$
da cui ad esempio esplicitando $v(t)$ si ha con l'ipotesi di $M-m(t) \ne 0$ $\forall t$
$v(t)= (-v_{g}m(t) + Mv(t_0) - m(t_0)v(t_0) + v_{g}m(t_0))/(M-m(t)) $
ti ringrazio per la risoluzione, il problema però chiedeva esplicitamente di calcolare la velocità in funzione della massa, non in funzione del tempo. Ma a parte questo caso particolare, in generale se ho
$adot y = b dotx$ con x = f (t) ed y = g(t), come faccio a passare, senza applicare il metodo urang utang, da $a(dy)/(dt) = b (dx/dt)$ a $(dy)/(dx)= b/a$ ? che passaggi formali devo fare?
$adot y = b dotx$ con x = f (t) ed y = g(t), come faccio a passare, senza applicare il metodo urang utang, da $a(dy)/(dt) = b (dx/dt)$ a $(dy)/(dx)= b/a$ ? che passaggi formali devo fare?
Spero sia corretto, dunque attendo correzioni o eventuali conferme 
.
Se $t=t(m)$ allora moltiplicando entrambi i membri per $\dot t(m)$ ottengo
$(dv(t(m)))/(d(t(m))) * (d(t(m)))/(dm)(M-m) = (dm)/(d(t(m))) * (d(t(m)))/(dm)(v(t(m)) - v_g)$
ma per il teorema della derivata della composizione si ha che $d/(dx) (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x) = (df(g(x)))/(dg(x)) * (dg(x))/dx$
quindi considerando $v(m)=v(t(m))$ si ha $(dv(m))/(dm) (M-m) = v(m) - v_g$ cioè $\dot v(M-m) = v - v_g$
Quindi si ha che $\dot v - v/(M-m) = -v_g/(M-m)$ e questa è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.
La forma precedente $\dot v (M-m) - v = -v_g$ si può riscrivere $\dot[[v(M-m)]] = -v_g$ quindi integrando da $m_0$ a $m$ entrambi i membri si ha il risultato.
.Se $t=t(m)$ allora moltiplicando entrambi i membri per $\dot t(m)$ ottengo
$(dv(t(m)))/(d(t(m))) * (d(t(m)))/(dm)(M-m) = (dm)/(d(t(m))) * (d(t(m)))/(dm)(v(t(m)) - v_g)$
ma per il teorema della derivata della composizione si ha che $d/(dx) (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x) = (df(g(x)))/(dg(x)) * (dg(x))/dx$
quindi considerando $v(m)=v(t(m))$ si ha $(dv(m))/(dm) (M-m) = v(m) - v_g$ cioè $\dot v(M-m) = v - v_g$
Quindi si ha che $\dot v - v/(M-m) = -v_g/(M-m)$ e questa è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.
La forma precedente $\dot v (M-m) - v = -v_g$ si può riscrivere $\dot[[v(M-m)]] = -v_g$ quindi integrando da $m_0$ a $m$ entrambi i membri si ha il risultato.
sembrerebbe tornare, ho paura per il passaggio:
$(dm)/(d(t(m))) * (d(t(m)))/(dm) = 1$
cioè è giusto ma deve essere giustificato, altrimenti si rischia di trattare i $dx$ come numeri che si semplificano... puoi giustificarmelo come passaggio? ti ringrazio per quello che hai già fatto comunque, molto utile.
$(dm)/(d(t(m))) * (d(t(m)))/(dm) = 1$
cioè è giusto ma deve essere giustificato, altrimenti si rischia di trattare i $dx$ come numeri che si semplificano... puoi giustificarmelo come passaggio? ti ringrazio per quello che hai già fatto comunque, molto utile.
sono d'accordo con la tua osservazione... sinceramente nn lo so giustificare direttamente... però puoi pensare comunque $m=m(t)$ sempre con $t=t(m)$, quindi sempre per la derivata della composizione ottieni il risultato. Alla fine è come se derivassi $d/(dm) (m)$.
Al momento non mi viene in mente altro.
Attendo correzioni o conferme da esperti.
Al momento non mi viene in mente altro.
Attendo correzioni o conferme da esperti.
Tenendo presente che $t(m)$ ha come funzione inversa $m(t)$, quella relazione è valida (sotto tutte le ipotesi del caso) per la regola della derivata di una funzione inversa.
"K.Lomax":
Tenendo presente che $t(m)$ ha come funzione inversa $m(t)$, quella relazione è valida (sotto tutte le ipotesi del caso) per la regola della derivata di una funzione inversa.
"sotto tutte le ipotesi del caso" yeah!
@Zkeggia
Magnifico: la selezione naturale all'opera!
Perfetto vi ringrazio, ora so come affrontare questo tipo di problemi
@Fioravante
Certo che sì, ho anche smesso di arrampicarmi sugli alberi e di mangiare banane (ma quest'ultimo evento non so se è positivo)
@Fioravante
Certo che sì, ho anche smesso di arrampicarmi sugli alberi e di mangiare banane (ma quest'ultimo evento non so se è positivo)
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