Passaggio da immaginari a reali
Sapete dirmi tramite quale formule si fanno questi passaggii ? :
es:
$e^((cos(pi/4)+i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) cos(sin(pi/4)t)$
$e^((cos(pi/4)-i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) sin(sin(pi/4)t)$
Mi sembra di aver capito che si è riscritto tutto come $e$ allla parte reale , per il coseno della parte immaginaria (oppure per il seno della parte immaginaria per $t$ nel caso di segno negativo della parte immaginaria ) , giusto ? Che formula è ?
Invece quest'altra : ?
In un equazione differenziale :
$Y^(8) -y=0$ =>
$lambda^(8) - 1=0$ => $lambda=$ $ root(8)(1) $ => $(cos((0+2k pi )/8)+i sin((0+2k pi )/8))$
Sembrerebbe che il 0 sia la fase del numero sotto radice, e 8 al denominatore del coseno, sia il grado della radice.
es:
$e^((cos(pi/4)+i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) cos(sin(pi/4)t)$
$e^((cos(pi/4)-i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) sin(sin(pi/4)t)$
Mi sembra di aver capito che si è riscritto tutto come $e$ allla parte reale , per il coseno della parte immaginaria (oppure per il seno della parte immaginaria per $t$ nel caso di segno negativo della parte immaginaria ) , giusto ? Che formula è ?
Invece quest'altra : ?
In un equazione differenziale :
$Y^(8) -y=0$ =>
$lambda^(8) - 1=0$ => $lambda=$ $ root(8)(1) $ => $(cos((0+2k pi )/8)+i sin((0+2k pi )/8))$
Sembrerebbe che il 0 sia la fase del numero sotto radice, e 8 al denominatore del coseno, sia il grado della radice.
Risposte
"A occhio", nelle formule ti manca qualcosa.
Tieni presente che:
\[
e^{x+\imath\ y} =e^x\ e^{\imath\ y} = e^x \big( \cos y+\imath\ \sin y\big)\; .
\]
Per la EDO, il polinomio che hai scritto è giusto, ma non sembra che tu abbia familiarità con la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso... Quindi vattela a riguardare sul libro.
Tieni presente che:
\[
e^{x+\imath\ y} =e^x\ e^{\imath\ y} = e^x \big( \cos y+\imath\ \sin y\big)\; .
\]
Per la EDO, il polinomio che hai scritto è giusto, ma non sembra che tu abbia familiarità con la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso... Quindi vattela a riguardare sul libro.

"gugo82":
"A occhio", nelle formule ti manca qualcosa.
Tieni presente che:
\[
e^{x+\imath\ y} =e^x\ e^{\imath\ y} = e^x \big( \cos y+\imath\ \sin y\big)\; .
\]
Per la EDO, il polinomio che hai scritto è giusto, ma non sembra che tu abbia familiarità con la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso... Quindi vattela a riguardare sul libro.
Ho capito quello che intendi dire. . . ma in un esercizio fatto dal professore , lui diceva che quello era un passaggio per andare dalla parte immaginaria a quella reale....
Forse per la risoluzione di un equazione differenziale non deve tener conto della parte immaginaria?
In pratica era questo esercizio :
C'era da risolvere questa equazione differenziale :
$Y^(8) -y=0$ =>
$lambda^(8) - 1=0$ => $lambda=$ $ root(8)(1) $ => $(cos((0+2k pi )/8)+i sin((0+2k pi )/8))$
In prof. ha detto che la soluzione era la somma di $e$ elevato alle soluzioni (dove $k$ varia da 1 a 8 perchè sono 8 soluzioni).
Per k=0 :
$C_1 e^t$
Per k=1:
$C_2 e^((cos(pi/4)+i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) cos(sin(pi/4)t)$
Per k=2 :
$C_3 e^((cos(pi/4)-i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) sin(sin(pi/4)t)$
e cosi via . . . e alla fine si sommano tutti . . .
C'era da risolvere questa equazione differenziale :
$Y^(8) -y=0$ =>
$lambda^(8) - 1=0$ => $lambda=$ $ root(8)(1) $ => $(cos((0+2k pi )/8)+i sin((0+2k pi )/8))$
In prof. ha detto che la soluzione era la somma di $e$ elevato alle soluzioni (dove $k$ varia da 1 a 8 perchè sono 8 soluzioni).
Per k=0 :
$C_1 e^t$
Per k=1:
$C_2 e^((cos(pi/4)+i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) cos(sin(pi/4)t)$
Per k=2 :
$C_3 e^((cos(pi/4)-i sin(pi/4))t)$ => $(e^(cos(pi/4)t)) sin(sin(pi/4)t)$
e cosi via . . . e alla fine si sommano tutti . . .
Forse perchè le soluzioni sono una il coniugato dell'altra, le parti immaginarie si annullano 2 a 2 , e di conseguenza il prof. non le ha scritte direttamente . . . ? ? ?