Passaggio al limite sotto sommatoria
Ciao, amici! Supponiamo di avere una "successione a due indici" \(\{a_{nm}\}_{(n,m)\in\mathbb{N}^2}\). Vale l'uguaglianza $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a_{nm}=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{nm}$?
E vale $\sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}a_{kn}=\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{kn}$, almeno quando $\sum_{n=1}^\infty a_{kn}$ converge assolutamente per ogni $k$?
Se sì, come possiamo dimostrarlo?
$\infty$ grazie a tutti!
P.S.: Il contesto in cui mi sorge la domanda è il mio tentativo di dimostrare che vale, come il libro enuncia senza dimostrare, questo questo teorema 4 anche per \(A=\bigcup_k X_k\) di misura non finita con \(X_1\subset X_2\subset...\) verificando se vale $\sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu=\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu$. È lecito passare al limite sotto il segno di sommatoria in questi casi? Se servisse saperlo, $\sum_{n=1}^\infty\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu$ converge assolutamente per ogni $k$.
E vale $\sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}a_{kn}=\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{kn}$, almeno quando $\sum_{n=1}^\infty a_{kn}$ converge assolutamente per ogni $k$?
Se sì, come possiamo dimostrarlo?
$\infty$ grazie a tutti!
P.S.: Il contesto in cui mi sorge la domanda è il mio tentativo di dimostrare che vale, come il libro enuncia senza dimostrare, questo questo teorema 4 anche per \(A=\bigcup_k X_k\) di misura non finita con \(X_1\subset X_2\subset...\) verificando se vale $\sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu=\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu$. È lecito passare al limite sotto il segno di sommatoria in questi casi? Se servisse saperlo, $\sum_{n=1}^\infty\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu$ converge assolutamente per ogni $k$.
Risposte
In generale non si può:
\[\sum_{m=0}^{\infty} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)}\]
è, per ogni \(n \in \mathbb{N}_+\), la serie telescopica associata alla successione (in \(m\)) \(\displaystyle \frac{m}{m+n} \)[nota]ovvero si ha per ogni \(s \in \mathbb{N}\), \(s >2\) e per ogni \(n \in \mathbb{N}_+\) che \(\displaystyle \sum_{m=0}^{s-1} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)} = \frac{s}{s+n} \)[/nota], ed è evidentemente assolutamente convergente (è a termini positivi). Eppure si ha:
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1\]
e
\[\sum_{m=0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)} = \sum_{m=0}^{\infty} 0 = 0\]
Come sempre è necessaria una qualche forma di uniformità perché limiti vari commutino, la convergenza assoluta non basta, serve quella uniforme, ma la convergenza assoluta è un buon punto di partenza per provare ad applicare l'M-test di Weierstrass e vedere se nel tuo caso porta a qualcosa. Ti consiglio comunque di dare una lettura al capitolo 7 del Principles of Mathematical Analysis di Rudin, in cui viene spiegata molto bene tutta la faccenda. Dal mio punto di vista è bene averla chiara in mente mentre si affronta lo studio dell'integrazione di Lebesgue intanto perché salta fuori continuamente ogni volta che si deve far commutare un limite con qualcosa che non sia un integrale, e secondariamente per capire quali erano i limiti della teoria prima che venisse alla luce quella meraviglia che oggi chiamiamo teorema della convergenza dominata (che fondamentalmente è l'unico motivo per cui serve una teoria dell'integrazione più raffinata di quella di Riemann, di integrare la funzione di Dirichlet alla fine non gliene frega niente a nessuno
).
\[\sum_{m=0}^{\infty} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)}\]
è, per ogni \(n \in \mathbb{N}_+\), la serie telescopica associata alla successione (in \(m\)) \(\displaystyle \frac{m}{m+n} \)[nota]ovvero si ha per ogni \(s \in \mathbb{N}\), \(s >2\) e per ogni \(n \in \mathbb{N}_+\) che \(\displaystyle \sum_{m=0}^{s-1} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)} = \frac{s}{s+n} \)[/nota], ed è evidentemente assolutamente convergente (è a termini positivi). Eppure si ha:
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1\]
e
\[\sum_{m=0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(m+n)(m+n+1)} = \sum_{m=0}^{\infty} 0 = 0\]
Come sempre è necessaria una qualche forma di uniformità perché limiti vari commutino, la convergenza assoluta non basta, serve quella uniforme, ma la convergenza assoluta è un buon punto di partenza per provare ad applicare l'M-test di Weierstrass e vedere se nel tuo caso porta a qualcosa. Ti consiglio comunque di dare una lettura al capitolo 7 del Principles of Mathematical Analysis di Rudin, in cui viene spiegata molto bene tutta la faccenda. Dal mio punto di vista è bene averla chiara in mente mentre si affronta lo studio dell'integrazione di Lebesgue intanto perché salta fuori continuamente ogni volta che si deve far commutare un limite con qualcosa che non sia un integrale, e secondariamente per capire quali erano i limiti della teoria prima che venisse alla luce quella meraviglia che oggi chiamiamo teorema della convergenza dominata (che fondamentalmente è l'unico motivo per cui serve una teoria dell'integrazione più raffinata di quella di Riemann, di integrare la funzione di Dirichlet alla fine non gliene frega niente a nessuno
).
Come al solito l'illustre cnossiaco fornisce risposte illuminanti! 
Quindi ci vedevo male.
Perdona la mia ottusità, ma non sono certo di capire che cosa si intenda per uniformità -a differenza di quanto accade con- nel caso di forme del tipo $ \sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}a_{kn}$ e $\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{kn} $...
Grazie $\infty$!
P.S.: Ho cercato nel Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ma sono troppo rimbambito per trovare una chiave alla verifica della liceità del passaggio ai limiti "da una parte all'altra" in questo tipo di sommatorie...
Il Kolmogorov-Fomin liquida il tutto dicendo che il teorema 4 vale anche per $X$ di misura infinita (con la condizione di essere unione di numerabili insiemi di misura finita), definendo l'integrale come limite, senza specificare particolari ipotesi restrittive, che sicuramente sono comunque soddisfatte affinché \(\int_{X}f(x)d\mu:=\lim_k\int_{X_k}f(x)d\mu=\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu\) coincida con \( \sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu\).
Quindi ci vedevo male.Perdona la mia ottusità, ma non sono certo di capire che cosa si intenda per uniformità -a differenza di quanto accade con- nel caso di forme del tipo $ \sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}a_{kn}$ e $\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{kn} $...
Grazie $\infty$!
P.S.: Ho cercato nel Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ma sono troppo rimbambito per trovare una chiave alla verifica della liceità del passaggio ai limiti "da una parte all'altra" in questo tipo di sommatorie...
Il Kolmogorov-Fomin liquida il tutto dicendo che il teorema 4 vale anche per $X$ di misura infinita (con la condizione di essere unione di numerabili insiemi di misura finita), definendo l'integrale come limite, senza specificare particolari ipotesi restrittive, che sicuramente sono comunque soddisfatte affinché \(\int_{X}f(x)d\mu:=\lim_k\int_{X_k}f(x)d\mu=\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu\) coincida con \( \sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}\int_{A_n\cap X_k}f(x)d\mu\).
"DavideGenova":
Perdona la mia ottusità, ma non sono certo di capire che cosa si intenda per uniformità -a differenza di quanto accade con- nel caso di forme del tipo $ \sum_{n=1}^\infty\lim_{k\to\infty}a_{kn}$ e $\lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{kn} $...
Ho delle difficoltà a interpretare l'incidentale. Comunque sia la definizione di uniformità per funzioni \(f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) si può esprimere col criterio di Cauchy come (nell'esempio riporto la convergenza nella prima variabile uniformemente rispetto alla seconda) \[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \in \mathbb{N} \left ( \ h > N, \ k > N \Rightarrow \lvert f(h,n) - f(k,n) \rvert \leq \varepsilon \right ) \]
"DavideGenova":
Ho cercato nel Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ma sono troppo rimbambito per trovare una chiave alla verifica della liceità del passaggio ai limiti "da una parte all'altra" in questo tipo di sommatorie...
Rudin tratta solo il caso delle successioni, ma non è riduttivo in quanto successioni e serie "sono la stessa cosa", ovvero ogni serie è la successione delle sue somme parziali, e la somma della serie è il limite della successione delle somme parziali; viceversa ogni successione può essere scritta come successione delle somme parziali della serie telescopica dei suoi elementi (\( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left ( a_0 + \sum_{i = 0}^{n-1} \left ( a_{i+1} - a_i \right ) \right )_{n \in \mathbb{N}} \)) ed il limite della successione altri non è che la somma della serie. Alla luce di questo la definizione che ho dato (adattandola dal Rudin, che tratta invece il caso \(\mathbb{N} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C} \); in realtà finché si sta in spazi metrici la solfa è sempre la stessa) di convergenza uniforme funziona sia per successioni a due indici, che per serie a due indici che per serie di successioni o successioni di serie, dal momento che le quattro cose sono in realtà la stessa.
$\infty$ grazie ancora!
Scusa, intendevo dire "a differenza di quanto accade con la convergenza uniforme di funzioni di variabile reale o complessa".
Tutto molto interessante: guardo se da tutto ciò si possa spiegare quell'enigmatico teorema 4...
"Epimenide93":E lo credo!
Ho delle difficoltà a interpretare l'incidentale.
Scusa, intendevo dire "a differenza di quanto accade con la convergenza uniforme di funzioni di variabile reale o complessa".Tutto molto interessante: guardo se da tutto ciò si possa spiegare quell'enigmatico teorema 4...
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