Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Piccolo dubbio.

[rettile56]

Buongiorno a tutti,
stavolta ho proprio un piccolo dubbietto a cui vorrei un sì o un no.

Avendo a che fare con una cosa del tipo $ lim_{k->oo}int_a^bf_k(x)dx $ voglio poter trovare una funzione sommabile secondo Lebesgue $g(x)$ tale che $f_k(x) Bene.
La mia domanda è questa: nel minorare posso o non posso tenere conto del limite?
Cioè mi spiego facendo finta di avere a che fare con
$lim_{k->oo) int_1^{oo} sin(x/k^2) dx$ posso osservare che $f_k(x)=sin(x/k^2)oo$? Oppure devo proprio dimenticare il parametro $k$ e considerarlo PER OGNI k intero? Cioè nel minorare posso tenere conto che k va a infinito o devo trovare una relazione di minorazione che valga anche, chessò, per k=1 k=2 o k=827?

Grazzzzie mille per le risposte!

[rettile56]

ho un esempio un po' più pregnante.

Immaginiamo di avere $arctan(x/k)$ su un domino di integrazione $(1,oo)$ e ovviamente per $k->oo$.
Badando solo alle x l'unica minorazione che si può fare è quella con $pi/2$, ma osservando che $k->oo$ allora posso minorare l'arcotangente con il suo argomento $

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