Passaggio al limite sotto il segno di integrale
Ho questo limite:
$lim_n int_(1/n)^(+oo) 1/(n*x^5)\ \tanh(x^2/n) dx = (1) $.
Il mio obiettivo e quello di verificare se vale il passaggio al limite, cioè se è vero che $(1) = int_(0)^(+oo) lim_n 1/(n*x^5)\ \tanh(x^2/n)\ chi_([1/n,+oo)) dx = int_(0)^(+oo) 0 = 0 $.
Ora, non riesco a trovare una maggiorante sommabile per poter applicare la convergenza dominata di Lebesgue, quindi provo con un cambio di variabile: $ t = nx $.
$(1) = lim_n int_(1)^(+oo) n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3) dt $.
Questa volta posso dire che $|n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3)| <= |1/t^3|$ che è sommabile su $[1,+oo)$, quindi se non sbaglio dovrebbe valere che $(1)= lim_n int_(1)^(+oo) n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3) dt = int_(1)^(+oo) lim_n n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3) dt = int_(1)^(+oo) 1/t^3 dt = 1/2 $.
Da questo io concluderei che non vale il passaggio al limite per la successione di funzioni iniziale, ma mi chiedo se abbia senso questa cosa o se ho semplicemente sbagliato i conti.
-Modificato-
$lim_n int_(1/n)^(+oo) 1/(n*x^5)\ \tanh(x^2/n) dx = (1) $.
Il mio obiettivo e quello di verificare se vale il passaggio al limite, cioè se è vero che $(1) = int_(0)^(+oo) lim_n 1/(n*x^5)\ \tanh(x^2/n)\ chi_([1/n,+oo)) dx = int_(0)^(+oo) 0 = 0 $.
Ora, non riesco a trovare una maggiorante sommabile per poter applicare la convergenza dominata di Lebesgue, quindi provo con un cambio di variabile: $ t = nx $.
$(1) = lim_n int_(1)^(+oo) n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3) dt $.
Questa volta posso dire che $|n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3)| <= |1/t^3|$ che è sommabile su $[1,+oo)$, quindi se non sbaglio dovrebbe valere che $(1)= lim_n int_(1)^(+oo) n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3) dt = int_(1)^(+oo) lim_n n^3 1/t^5\ \tanh(t^2 / n^3) dt = int_(1)^(+oo) 1/t^3 dt = 1/2 $.
Da questo io concluderei che non vale il passaggio al limite per la successione di funzioni iniziale, ma mi chiedo se abbia senso questa cosa o se ho semplicemente sbagliato i conti.
-Modificato-
Risposte
scusa, chi è $Th$?
Tangente iperbolica, ma non cambia nulla se ci metto un'arcotangente o un'altra qualsiasi funzione limitata che sia $<=$ del suo argomento.
Facendo la sostituzione \(t=nx\) trovi:
\[
\int_{1/n}^\infty \frac{1}{x^5}\ \tanh \frac{x^2}{n}\ \text{d} x \stackrel{x=t/n}{=}\int_1^\infty \frac{n^4}{t^5}\ \tanh \frac{t^2}{n^3}\ \text{d} t\; ,
\]
quindi hai comunque un \(n\) che ti "dà fastidio".
Ovviamente però questo fatto non ti dice nulla sulla validità o meno del passaggio al limite sotto il segno d'integrale.
\[
\int_{1/n}^\infty \frac{1}{x^5}\ \tanh \frac{x^2}{n}\ \text{d} x \stackrel{x=t/n}{=}\int_1^\infty \frac{n^4}{t^5}\ \tanh \frac{t^2}{n^3}\ \text{d} t\; ,
\]
quindi hai comunque un \(n\) che ti "dà fastidio".
Ovviamente però questo fatto non ti dice nulla sulla validità o meno del passaggio al limite sotto il segno d'integrale.
Scusami Gugo, avevo dimenticato un $1/n$ nel testo, ora ho corretto. Che mi dici?
Dico che va bene.
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