Passaggio al limite sotto il segno di integrale
Buondì! Ho questo esercizio che mi sta dando non pochi grattacapi. Si tratta di risolvere il limite
[tex]\lim_{n \to +\infty} \int_{D_n} \frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2} dxdy[/tex], dove [tex]D_n={(x,y) \in \mathbf{R}^2 | x^2+y^2 \leq n^2}[/tex].
Solitamente per integrali in una sola dimensione utilizzo Beppo Levi o il teorema della convergenza dominata per poter scambiare integrale e limite. Qui ho pensato di passare in polari ma poi non so che fare
Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere!!
[tex]\lim_{n \to +\infty} \int_{D_n} \frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2} dxdy[/tex], dove [tex]D_n={(x,y) \in \mathbf{R}^2 | x^2+y^2 \leq n^2}[/tex].
Solitamente per integrali in una sola dimensione utilizzo Beppo Levi o il teorema della convergenza dominata per poter scambiare integrale e limite. Qui ho pensato di passare in polari ma poi non so che fare
Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere!!
Risposte
Cosa ne dici della convergenza monotona? 
"billyballo2123":
Cosa ne dici della convergenza monotona?
Beppo Levi per l'appunto? Non so come usarlo qui :/ più che altro perché [tex]n[/tex] è anche nel dominio di integrazione e non mi viene in mente un modo semplice per levarcelo
\[
\int_{D_n}\frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}dxdy=\int_{\mathbb{R}^2}\frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}\chi_{D_n}(x,y)dxdy.
\]
Dato che la funzione integranda è non negativa e $\chi_{D_n}\leq \chi_{D_{n+1}}$, si ha che
\[
\frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}\chi_{D_n}(x,y)\leq \frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}\chi_{D_{n+1}}(x,y).
\]
\int_{D_n}\frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}dxdy=\int_{\mathbb{R}^2}\frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}\chi_{D_n}(x,y)dxdy.
\]
Dato che la funzione integranda è non negativa e $\chi_{D_n}\leq \chi_{D_{n+1}}$, si ha che
\[
\frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}\chi_{D_n}(x,y)\leq \frac{1}{1+|x|^{3/2}+y^2}\chi_{D_{n+1}}(x,y).
\]
Woa, grazie!
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