Passaggio al limite sotto il segno di integrale

[waltermath]

Facendo riferimento al teorema del PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO D'INTEGRALE
mi trovo in difficoltà nella comprensione di un passaggio della seguente osservazione.
L'uguaglianza
$ lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx $
non vale in generale su intervalli che non sono chiusi e limitati.
Come esempio mi da la successione
$ f_n(x)= {(1/(2h),per \ -h che converge uniformemente a $ f(x)-= 0 $ in $RR$
Ma
$ 1 = int_(RR)^() f_h != int_(RR)^() f = 0 $
perciò avendo due valori differenti dell'integrale è evidente che non vale l'uguaglianza.
Tutto il discorso, compresa la conclusione è chiara, MI PERDO su una cosa banale.
Come si imposta l'integrale della $f_h (x)$.
Quale dovrebbe essere la funzione integranda?
Grazie

[redlex91-votailprof]

[tex]\lim_{n\to+\infty}\int_\mathbb{R}f_n(x)\,dx=\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^n{f_n(x)\,dx}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2n}\big|_{-n}^n=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2n}\cdot2n=1[/tex]
o più semplicemente base (lunghezza dell'intervallo) per altezza (valore assunto dalla funzione sull'intervallo) essendo ogni funzione estratta dalla successione limitata e non negativa e quindi l'integrale è uguale all'area sottesa dalla funzione.