Passaggio al limite sotto il segno di derivata
Salve, sto studiando il teorema del passaggiio al limite sotto il segno di derivata ma mi risultano alquanto oscuri alcuni passaggi, posto le immagini del libro per chiarirci:
http://img714.imageshack.us/img714/2521 ... rivata.jpg
http://img543.imageshack.us/img543/3436 ... ivata2.jpg
In particolare mi riferisco dal punto 3.21 in poi(secondo link).
Se qualcuno avesse altre dimostrazioni di questo teorema, magari più chiare, sarebbe così gentile da postarle?
Grazie Anticipatamente
http://img714.imageshack.us/img714/2521 ... rivata.jpg
http://img543.imageshack.us/img543/3436 ... ivata2.jpg
In particolare mi riferisco dal punto 3.21 in poi(secondo link).
Se qualcuno avesse altre dimostrazioni di questo teorema, magari più chiare, sarebbe così gentile da postarle?
Grazie Anticipatamente
Risposte
Io conosco questa dimostrazione... Cos'è che non capisci esattamente?
Al punto 3.22, la terza maggiorazione non capisco come il modulo dell'integrale si risolva in [tex][..] + (b-a)[/tex][tex]max{|f'_k(t)-g(t)|}[/tex] con [tex]1 \in [a,b][/tex]
Per le proprietà dell'integrale puoi scrivere:
$| int_a^b f'_k(t) - g(t) dt | <= int_a^b | f'_k(t) - g(t) | dt $
e per il teorema della media $EE xi in [a,b]$ tale che:
$ int_a^b | f'_k(t) - g(t) | dt <= (b - a ) * |f'_k (xi) - g(xi) |$
e puoi ancora maggiorare $|f'_k (xi) - g(xi)|$ con $"sup"_(x in [a,b]) |f'_k(x) - g(x)|$ .
$"sup"_(x in [a,b]) |f'_k(x) - g(x)|$ è proprio $|| f'_k(x) - g(x) ||_(oo)$ e per l'ipotesi sulla convergenza uniforme della serie delle derivate, hai che $|| f'_k(x) - g(x) ||_(oo) -> 0$ per $k -> +oo$.
$| int_a^b f'_k(t) - g(t) dt | <= int_a^b | f'_k(t) - g(t) | dt $
e per il teorema della media $EE xi in [a,b]$ tale che:
$ int_a^b | f'_k(t) - g(t) | dt <= (b - a ) * |f'_k (xi) - g(xi) |$
e puoi ancora maggiorare $|f'_k (xi) - g(xi)|$ con $"sup"_(x in [a,b]) |f'_k(x) - g(x)|$ .
$"sup"_(x in [a,b]) |f'_k(x) - g(x)|$ è proprio $|| f'_k(x) - g(x) ||_(oo)$ e per l'ipotesi sulla convergenza uniforme della serie delle derivate, hai che $|| f'_k(x) - g(x) ||_(oo) -> 0$ per $k -> +oo$.
"Seneca":
$"sup"_(x in [a,b]) |f'_k(x) - g(x)|$ è proprio $|| f'_k(x) - g(x) ||_(oo)$ e per l'ipotesi sulla convergenza uniforme della serie delle derivate, hai che $|| f'_k(x) - g(x) ||_(oo) -> 0$ per $k -> +oo$.
Grazie per la disponibilità, sei stato molto chiaro.
Non capisco però l'ultima parte che ho citato, perchè il $"sup"_(x in [a,b]) |f'_k(x) - g(x)|$ è $|| f'_k(x) - g(x) ||_(oo)$, e che cosa s'intende con quest'ultima notazione?
$|| .||_(oo)$ è la norma infinito. La definizione di convergenza uniforme può essere data anche in questi termini (come l'hai definita tu?).
La definizione di convergenza uniforme l'ho studiata tramite i limiti, per intenderci:
$f_k(x)$ converge uniformente a $f(x)$ in $A \subseteq R$ $\iff$ $lim_[k \to \infty]f_k(x)=f(x)$ per ogni $x \in A$, e quindi $|f_k(x) - f(x)|$ $<$ $\epsilon$ $\forall k > \nu_\epsilon$, $\forall x \in A$.
Ecco perchè non avevo mai visto quella notazione e non sapevo come spiegarmela.
$f_k(x)$ converge uniformente a $f(x)$ in $A \subseteq R$ $\iff$ $lim_[k \to \infty]f_k(x)=f(x)$ per ogni $x \in A$, e quindi $|f_k(x) - f(x)|$ $<$ $\epsilon$ $\forall k > \nu_\epsilon$, $\forall x \in A$.
Ecco perchè non avevo mai visto quella notazione e non sapevo come spiegarmela.
Scusate l'intromissione in una discussione di circa 5 mesi fa xD
ma mi sembrava inutile aprire un nuovo post, visto che l'argomento di questo rispecchia esattamente il mio dubbio.
Naturalmente parlando del passaggio al limite sotto il segno della derivata:
seguo tranquillamente tutta la spiegazione di seneca non capisco però per quale motivo al termine delle maggiorazioni, e visto che [tex]\displaystyle {\left|{\left|{f{'}}_{{k}}{\left({x}\right)}-{g{{\left({x}\right)}}}\right|}\right|}_{{\infty}}\to{0}[/tex] per [tex]\displaystyle {k}\to+\infty[/tex] (essendo [tex]{f{'}}_{{k}}{\left({x}\right)}[/tex] convergente uniformemente dalla definizione) posso concludere che anche [tex]{f{}}_{{k}}{\left({x}\right)}[/tex] converge uniformemente.. e quindi concludo la dimostrazione..
ma mi sembrava inutile aprire un nuovo post, visto che l'argomento di questo rispecchia esattamente il mio dubbio.
Naturalmente parlando del passaggio al limite sotto il segno della derivata:
seguo tranquillamente tutta la spiegazione di seneca non capisco però per quale motivo al termine delle maggiorazioni, e visto che [tex]\displaystyle {\left|{\left|{f{'}}_{{k}}{\left({x}\right)}-{g{{\left({x}\right)}}}\right|}\right|}_{{\infty}}\to{0}[/tex] per [tex]\displaystyle {k}\to+\infty[/tex] (essendo [tex]{f{'}}_{{k}}{\left({x}\right)}[/tex] convergente uniformemente dalla definizione) posso concludere che anche [tex]{f{}}_{{k}}{\left({x}\right)}[/tex] converge uniformemente.. e quindi concludo la dimostrazione..
help!
[xdom="Seneca"]Il regolamento vieta "up" così ravvicinati. Devi aspettare almeno 24h di mancata risposta per poter sollecitare.[/xdom]
[xdom="Seneca"]Il regolamento vieta "up" così ravvicinati. Devi aspettare almeno 24h di mancata risposta per poter sollecitare.[/xdom]
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