Passaggio a coordinate sferiche su integrali tripli

[Khurt]

Buongiorno.

Come da titolo, avrei bisogno di chiarimenti riguardo ai passaggi per passare da coordinate cartesiane a quelle sferiche, in particolare per determinare gli intervalli $phi$ e $theta$ che definiscono il nuovo $Omega$.

Vorrei postare anche l'esercizio in cui mi sono "arenato", in modo da rendere la spiegazione un po' più concreta:

Sia $Omega$ la sfera di centro O(0,0,0) e raggio 3. Calcolare il flusso del campo vettoriale $vec{F}(x, y, z)=(x-xe^z)vec{i}+(ye^z-3x)vec{j}+(x^5y+4z)vec{k}$ uscente da $partialOmega$.

Grazie a Gauss, possiamo scrivere:

$Phi=\int_Omega div(vec{F}) = int_Omega 5partialxpartialypartialz$

dove $Omega=x^2+y^2+z^2<=9$

A questo punto, mi conviene passare alle coordinate sferiche, in modo da facilitarmi i calcoli di integrazione (o sbaglio?).
Potreste mostrarmi i passaggi?

Ringrazio per l'aiuto.

[Raptorista1]

Certo che ti conviene, sei su una sfera!
I passaggi li farai tu, se qualcosa non ti torna, scrivili e li commenteremo.
L'idea, ovviamente, non è diversa da quando passi ad altre coordinate [polari, cilindriche...]

[Khurt]

Beh, il sistema è:

$\{(x=rsinphicostheta),(y=rsinphisintheta),(z=rcosphi):}$

Quindi, a rigor di logica, si dovrebbe avere:

$0<=r<=3$
$0<=theta<=2pi$
$-pi/2<=phi<=pi/2$


E quindi l'integrale:

$int_0^(2pi)int_(-pi/2)^(pi/2)int_0^3 5r^2sinphipartialrpartialphipartialtheta$

$int_0^(2pi)int_(-pi/2)^(pi/2)[5/3r^3sinphi]_0^3partialphipartialtheta=int_0^(2pi)int_(-pi/2)^(pi/2)45sinphipartialphipartialtheta$

$int_0^(2pi)[-45cosphi]_(-pi/2)^(pi/2)partialtheta$


E' corretto?

[Raptorista1]

Pare di sì, non ho controllato i numeri, ma il procedimento mi sembra corretto.

[Khurt]

Però il dubbio rimane: in questo caso, era facile determinare $phi$ e $theta$ col ragionamento, perché la sfera era centrata nell'origine.

Se avessi avuto un insieme $Omega$ della stessa forma, ma non centrato del'origine, come avrei dovuto indicare $phi$ e $theta$?
O avrei dovuto usare un sistema di coordinate diverso? magari cilindrico?

[Raptorista1]

Se hai una sfera spostata, magari un cambio di variabili potrebbe risolvere... Però ogni caso è a sé!