Passaggi serie numerica;

[Danying]

Si ha da studiare il carattere della seguente serie: $\sum_{n=1}^infty n^2/3^n$

la serie è una serie a termini positivi: studiamola con il corollario del criterio del rapporto ed abbiamo.

$[a_(n+1)]/[a_(n)]= [(n+1)^2]/[3^(n+1)]*(3^n)/(n^2)=1/3[(n+1)/(n)]^2=1/3 (1+1/n)^2 ; $


ancora non ho preso "praticità" ad operare con le serie...e non ho chiari i passaggi ...penso algebrici degli ultimi due "punti"....

potreste dirmi che semplificazioni si son adottate?
thankx

[regim]

Nessuna strana semplificazione. Alla fine ti viene il limite minore di $1$ e puoi concludere che la serie converge. Perchè non si fa solo il rapporto, ma il limite del rapporto.

[Danying]

"regim":Nessuna strana semplificazione. Alla fine ti viene il limite minore di $1$ e puoi concludere che la serie converge. Perchè non si fa solo il rapporto, ma il limite del rapporto.

si, dopo il limite lo so calcolare....


non ho chiaro questi passaggi algebrici $[(n+1)^2]/[3^(n+1)]*(3^n)/(n^2)=1/3[(n+1)/(n)]^2=1/3 (1+1/n)^2 ; $

[Gi81]

$[(n+1)^2]/[3^(n+1)]*(3^n)/(n^2)=[(n+1)^2]/[3^(n)*3]*(3^n)/(n^2)=[(n+1)^2]/n^2*3^n/(3^n*3)$
Ora, $(n+1)^2/n^2=((n+1)/n)^2$, che puoi scrivere anche come $(1+1/n)^2$
Inoltre $3^n/(3^n*3)=1/3$ perchè $3^n$ è sia a numeratore che a denominatore e si semplifica
Risultato finale: $1/3(1+1/n)^2

[Danying]

"Gi8":$[(n+1)^2]/[3^(n+1)]*(3^n)/(n^2)=[(n+1)^2]/[3^(n)*3]*(3^n)/(n^2)=[(n+1)^2]/n^2*3^n/(3^n*3)$
Ora, $(n+1)^2/n^2=((n+1)/n)^2$, che puoi scrivere anche come $(1+1/n)^2$
Inoltre $3^n/(3^n*3)=1/3$ perchè $3^n$ è sia a numeratore che a denominatore e si semplifica
Risultato finale: $1/3(1+1/n)^2

grazie gi8!
ora ho un pò più chiaro...
queste lacune "di calcolo come le potrei colmare"?? suppongo svolgendo valanga di esercizi "simili..."

cmq nel passaggio
$[(n+1)^2]/[3^(n)*3]$ il $ 3^(n+1)$ diventa $3^n*3$ per le regole delle potenze?

mentre poi nel passaggio successivo come mai nella moltiplicazione scambi i "denominatori" mettendo "$n^2$ nella frazione di prima ed $3^n*3$ in quella dopo ??
...thankx ancora

[~Mihaela~13]

allora...
$ 3^(n+1) = 3^n ⋅ 3 ^1 $ in un certo senso... è la proprietà delle potenze: prodotto di potenze di uguale base

[size=150] $ a^n⋅a^m=a^(n+m) $ [/size]

per quanto riguarda la seconda domanda... qual è il problema con "lo scambio" dei denominatori?? è un prodotto!!
scrivere $ (a⋅b)/(c⋅d) $ è equivalente allo scrivere $ (a⋅b)/(d⋅c) $

[Danying]

"~Mihaela~":

per quanto riguarda la seconda domanda... qual è il problema con "lo scambio" dei denominatori?? è un prodotto!!
scrivere $ (a⋅b)/(c⋅d) $ è equivalente allo scrivere $ (a⋅b)/(d⋅c) $

esattamente, ma in questo caso a numeratore non ci sono due nominatori uguali come nell'esempio da te postato, $(a*b)$

in uno c'è $ (n+1)^2$ e l'altro numeratore è $3^n$

vige comunque la stessa regola ?

[~Mihaela~13]

Si tratta sempre e comunque di un prodotto La proprietà è quella commutativa
Non ha importanza se l'operazione coinvolge termini elevati a potenza....
I "miei" $a$ e $b$ non sono per forza uguali fra loro