Passaggi lim per x a infinito con funzioni trigonometriche

[cristi4n_m]

Ciao a tutti, sono nuovo, mi chiamo cristian

Ringrazio in anticipo tutti coloro vorranno aiutarmi

\(\displaystyle lim x\rightarrow + \infty \frac {sin^2 (\frac 1x)} {1-cos(\frac 1x)} \)

Il risultato è 2

Sto studiando analisi 1 e ho questo esercizio che proprio non riesco a capire perchè diavolo faccia 2!!!!!

Ho smanettato sulle funzioni, sulle potenze, a me viene sempre 0... vorrei capire dove sbaglio. GRAZIE a chi mi darà una mano

[pilloeffe]

Ciao cristi4n_m,

Benvenuto sul forum!

In effetti il risultato del limite proposto è $2$... Prova a porre $y := 1/x $ e ad usare i limiti notevoli che dovresti conoscere...
In particolare:

$lim_{y \to 0} frac{sin y}{y} = 1 $

$lim_{y \to 0} frac{1 - cos y}{y^2} = 1/2 $

[cristi4n_m]

Grazie...gentilissimo e velocissimo

ora faccio
\(\displaystyle y= \frac 1x \)

\(\displaystyle lim y \rightarrow 0 \frac {sen^2 y} {1-cos y} \)

Faccio che divido num e den per \(\displaystyle y^2 \)

[pilloeffe]

"cristi4n_m":Grazie...gentilissimo e velocissimo

Prego!

"cristi4n_m":ora faccio...

Ti stai un po' complicando la vita... In realtà è molto semplice, senza neanche usare i limiti notevoli:

$ lim_{x \to +\infty} frac{sin^2 (1/x)}{1-cos(1/x)} = lim_{y \to 0^+} frac{sin^2 y}{1-cos y} = lim_{y \to 0^+} frac{1 - cos^2 y}{1-cos y} = lim_{y \to 0^+} frac{(1 - cos y)(1 + cos y)}{1-cos y} =$
$ = lim_{y \to 0^+} (1 + cos y) = 1 + 1 = 2$

Facendo uso dei limiti notevoli:

$ lim_{x \to +\infty} frac{sin^2 (1/x)}{1-cos(1/x)} = lim_{y \to 0^+} frac{sin^2 y}{1-cos y} = lim_{y \to 0^+} frac{sin^2 y}{y^2} \cdot frac{y^2}{1 - cos y} = lim_{y \to 0^+} frac {sin^2 y}{y^2} \cdot lim_{y \to 0^+} frac{1}{frac{1 - cos y}{y^2}} = $
$ = 1 \cdot frac{1}{1/2} = 2$

[cristi4n_m]

pilloeffe .... non so come ringraziarti... GRAZIE

Ho capito dove mi incasinavo... diciamo che ero arrivato a y=2

il problema è che poi facevo sto ragionamento se y=2 e y=1/x allora x=1/2.
Ma che Fesso.... io non devo trovare X

[pilloeffe]

"cristi4n_m":pilloeffe .... non so come ringraziarti... GRAZIE

Prego, figurati...

"cristi4n_m":diciamo che ero arrivato a y=2

In realtà non è $y$, che tende a $0^+$, ma proprio il risultato del limite...

"cristi4n_m":io non devo trovare $x$

Esatto, sai già che $x \to +\infty $, e non devi trovare neanche $y$ (che per la posizione fatta sai già che tende a $0^+$): non è un'equazione, che una volta trovato il valore della variabile ausiliaria $y$ devi risalire al valore di $x$ tramite la posizione effettuata, qui si tratta solo di trovare il risultato del limite.