Passaggi equazione differenziale con parametro

[mazzy89-votailprof]

ho svolto la seguente equazione differenziale con parametro ma non so se i passaggi effettuati sono giusti

$y^('')+ky^{\prime}-y=e^((k+1)x)$

inizio risolvendo l'omogenea $y^('')+ky^{\prime}-y=0$ scrivo il polinomio caratteristico $lambda^2+klambda-1=0$ calcolo il $Delta$ che è uguale a $k^2+4$ a questo punto distinguo i casi per

$k>0$ si ha $lambda_(1,2)=(-k+-sqrt(k^2+4))/2$ e l'integrale generale dell'omogenea è pari a $c_1e^(((-k+sqrt(k^2+4))/2)x)+c_2e^(((-k-sqrt(k^2+4))/2)x)$

$k=0$ si ha $lambda_(1,2)=+-1$ e l'integrale generale dell'omogenea è pari a $c_1e^x+c_2e^-x$

$k<0$ si ha $lambda_(1,2)=(k+-sqrt(k^2+4))/2$ e l'integrale generale dell'omogenea è pari a $c_1e^(((k+sqrt(k^2+4))/2)x)+c_2e^(((k-sqrt(k^2+4))/2)x)$

adesso per calcolarmi le soluzioni della completa dato che compare il parametro ad elevare devo verificare quali valori assume $k$

se $k+1=(-k+-sqrt(k^2+4))/2$ e quindi per $k=-3/2$ e $k=0$ ricercare la soluzione rispettivamente in $xe^(-1/2x)A$ e $xe^xA$

se $k+1!=(-k+-sqrt(k^2+4))/2$ ricercare nella classe $Ae^((k+1)x)$

qualcuno di gentile potrebbe verificare se il mio ragionamento è giusto per evitare di incorrere in futuri errori?grazie

[pater46]

Mmm... io l'unico dubbio l'avrei sulla separazione dei tre casi. Il delta non si annulla mai quindi mi sembra che sia superflua tale distinzione.

E poi avrei alcuni dubbi sul terzo caso, non mi sembra che abbia fondamento! La formula di risuluzione delle equazioni del terzo caso è : $x = \frac { -b +-\sqrt{b^2-4ac}} {2}$

Ma non vi è alcuna distinzione tra i casi b positivo o negativo.. Per me, oltre che essere non necessario, è anche errato. Se b è negativo, resta negativo, non c'è bisogno di farlo cambiare di segno.

[mazzy89-votailprof]

"pater46":Mmm... io l'unico dubbio l'avrei sulla separazione dei tre casi. Il delta non si annulla mai quindi mi sembra che sia superflua tale distinzione.

E poi avrei alcuni dubbi sul terzo caso, non mi sembra che abbia fondamento! La formula di risuluzione delle equazioni del terzo caso è : $x = \frac { -b +-\sqrt{b^2-4ac}} {2}$

Ma non vi è alcuna distinzione tra i casi b positivo o negativo.. Per me, oltre che essere non necessario, è anche errato. Se b è negativo, resta negativo, non c'è bisogno di farlo cambiare di segno.

e si c'hai ragione.effettivamente guardandola il delta non si annulla mai e non ha proprio senso distinguere il caso minore e uguale a zero.si si ha ragione.grazie pater46