Passaggi di derivazione
Buongiorno a tutti,
se ho una funzione del tipo:
\( y = 3\varkappa / \sqrt[3]{\varkappa -1} \)
e voglio ricavare la sua derivata nei singoli passaggi elementari, ricordando che :
\( u=3\varkappa ; v=(1/\sqrt[3]{\varkappa -1});y' = uv' +u'v \)
la sua risoluzione dovrebbe essere:
\( y = 3\varkappa ; y'= 3 \)
e
\( y=\frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}};y' = \frac{1}{v^2}v';y'=\frac{1}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}\sqrt[3]{\varkappa -1} \)
per cui seguendo la formula detta prima:
\( y'=3\varkappa (\frac{\sqrt[3]{\varkappa -1}}{\sqrt[9]{\varkappa -1}})+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}= \frac{3\varkappa \sqrt[3]{\varkappa -1}+3\sqrt[3]{\varkappa -1}}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}=\frac{3\varkappa }{\sqrt[3]{\varkappa -1}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)
è corretto o mi sono perso qualcosa?
Grazie a tutti
Luigi
se ho una funzione del tipo:
\( y = 3\varkappa / \sqrt[3]{\varkappa -1} \)
e voglio ricavare la sua derivata nei singoli passaggi elementari, ricordando che :
\( u=3\varkappa ; v=(1/\sqrt[3]{\varkappa -1});y' = uv' +u'v \)
la sua risoluzione dovrebbe essere:
\( y = 3\varkappa ; y'= 3 \)
e
\( y=\frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}};y' = \frac{1}{v^2}v';y'=\frac{1}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}\sqrt[3]{\varkappa -1} \)
per cui seguendo la formula detta prima:
\( y'=3\varkappa (\frac{\sqrt[3]{\varkappa -1}}{\sqrt[9]{\varkappa -1}})+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}= \frac{3\varkappa \sqrt[3]{\varkappa -1}+3\sqrt[3]{\varkappa -1}}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}=\frac{3\varkappa }{\sqrt[3]{\varkappa -1}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)
è corretto o mi sono perso qualcosa?
Grazie a tutti
Luigi
Risposte
"jadawin":Qua cos'è successo?
\( y=\frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}};y' = \frac{1}{v^2}v';y'=\frac{1}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}\sqrt[3]{\varkappa -1} \)
Mi sa che ho fatto un pochino di confusione... . 
Dovrebbe essere, seguendo sempre y' = uv' + u'v :
\( u = 3\varkappa ; u' = 3; \)
\( v = \frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}; v' = \frac{1}{v^2}v';-\frac{1}{(\sqrt[3]{\varkappa -1})^2}3(\sqrt[3]{\varkappa -1});-\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)
e quindi:
\( y' = -\frac{9\varkappa}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}; y' = -\frac{9\varkappa +3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)
corretto così?
grazie ancora a tutti!
Luigi
Dovrebbe essere, seguendo sempre y' = uv' + u'v :
\( u = 3\varkappa ; u' = 3; \)
\( v = \frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}; v' = \frac{1}{v^2}v';-\frac{1}{(\sqrt[3]{\varkappa -1})^2}3(\sqrt[3]{\varkappa -1});-\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)
e quindi:
\( y' = -\frac{9\varkappa}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}; y' = -\frac{9\varkappa +3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)
corretto così?
grazie ancora a tutti!
Luigi
\(v'=\frac{v'}{v^2}\)? Stai facendo ancora confusione. Quello che a occhio vuoi fare è chiamare \(w=\sqrt[3]{\varkappa-1}=(\varkappa-1)^{\frac{1}{3}}\) ottenendo \(v=\frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa-1}}=\frac{1}{w}\) la cui derivata è \(v'=-\frac{w'}{w^2}\) e la derivata di \(w\) è \(w'=\frac{1}{3}(\varkappa-1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{\varkappa-1})^2}\). Allora:\[-v'=\frac{w'}{w^2}=\frac{\frac{1}{3}(\varkappa-1)^{-\frac{2}{3}}}{(\varkappa-1)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{\varkappa-1})^4}\]Infine, essendo \(y=uv\), si ha:\[y'=u'v+uv'=\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa-1}}-\frac{\varkappa}{(\sqrt[3]{\varkappa-1})^4}=\frac{2\varkappa-3}{(\sqrt[3]{\varkappa-1})^4}\]Torna?
Ah ecco dove avevo sbagliato io !!!!
Avevo considerato erroneamente il calcolo della potenza ridotto di una unità e avevo ottenuto \( -\frac{1}{3} \) anziché \( -\frac{2}{3} \) come doveva essere, cosicché il risultato finale cambia da quello che avevo ottenuto io...
Grazie ancora seb! E visto l'imminente natale, auguro buon natale a tutti!
Jada
Avevo considerato erroneamente il calcolo della potenza ridotto di una unità e avevo ottenuto \( -\frac{1}{3} \) anziché \( -\frac{2}{3} \) come doveva essere, cosicché il risultato finale cambia da quello che avevo ottenuto io...
Grazie ancora seb! E visto l'imminente natale, auguro buon natale a tutti!
Jada
Ti faccio notare che in questi casi la risoluzione più semplice si ha mantenendo la frazione, cioè (riprendendo la scrittura che ho introdotto prima)\[y=\frac{u}{w}\implies y'=\frac{u'w-uw'}{w^2}=\frac{3(\varkappa-1)^{\frac{1}{3}}-\varkappa(\varkappa-1)^{-\frac{2}{3}}}{(\varkappa-1)^{\frac{2}{3}}}=\frac{2\varkappa-3}{(\varkappa-1)^{\frac{4}{3}}}\]buone feste
Ri-ciao
Se consideriamo un grafico delle altitudini di un percorso, rappresentato come una S che va verso l'alto, si potrebbe dedurre la sua relativa derivata della pendenza che graficamente sarebbe espressa con un grafico simile a quello della pendenza dove si evidenziano le proprietà in un linguaggio comune:
la derivata di una costante è nulla --> quando la strada è orizzontale la sua pendenza è nulla
la derivata di una $ y $ crescente è positiva --> quando la strada monta, la sua pendenza è positiva
la derivata di una $ y $ decrescente è negativa --> quando la strada discende, la sua pendenza è negativa
quando una grandezza passa per un minimo/massimo, la derivata è nulla --> nel punto più alto/basso la pendenza è nulla
due funzioni che differiscono per una costante, hanno la stessa derivata --> due strade parallele hanno la stessa pendenza
però se io ho una funzione $ y $ rappresentata come di seguito:
$ y = 1/4x^3 - x $
la cui derivata $ y' $ è:
$ y' = 3/4x^2 - 1 $
graficamente mi darebbero una sorta di S per la $ y $ e una specie di U per la $ y' $. Quindi io mi chiedo come possano essere applicate interpretativamente tali regole che ho indicato prima per le pendenze a queste funzioni che danno 2 grafici completamente diversi?...
Se consideriamo un grafico delle altitudini di un percorso, rappresentato come una S che va verso l'alto, si potrebbe dedurre la sua relativa derivata della pendenza che graficamente sarebbe espressa con un grafico simile a quello della pendenza dove si evidenziano le proprietà in un linguaggio comune:
la derivata di una costante è nulla --> quando la strada è orizzontale la sua pendenza è nulla
la derivata di una $ y $ crescente è positiva --> quando la strada monta, la sua pendenza è positiva
la derivata di una $ y $ decrescente è negativa --> quando la strada discende, la sua pendenza è negativa
quando una grandezza passa per un minimo/massimo, la derivata è nulla --> nel punto più alto/basso la pendenza è nulla
due funzioni che differiscono per una costante, hanno la stessa derivata --> due strade parallele hanno la stessa pendenza
però se io ho una funzione $ y $ rappresentata come di seguito:
$ y = 1/4x^3 - x $
la cui derivata $ y' $ è:
$ y' = 3/4x^2 - 1 $
graficamente mi darebbero una sorta di S per la $ y $ e una specie di U per la $ y' $. Quindi io mi chiedo come possano essere applicate interpretativamente tali regole che ho indicato prima per le pendenze a queste funzioni che danno 2 grafici completamente diversi?...
Detta brevemente, l'andamento di \(y'\) fornisce l'andamento di \(y\), dal momento che il primo definisce puntualmente le pendenze del secondo. Se individui i punti in cui \(y'\) è positiva, in tali punti \(y\) è crescente; se \(y'\) è negativa, \(y\) è decrescente; in tutti i punti in cui \(y'\) si annulla, \(y\) non cresce né decresce (è costante). Facciamo lo studio del segno di \(y'\):\[y'=3\left(\frac{x}{2}\right)^2-1>0\iff\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+1\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x-1\right)>0\iff x<-\frac{2}{\sqrt{3}}\vee x>\frac{2}{\sqrt{3}}\]Ciò significa che \(y\) cresce da \(-\infty\) a \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\), decresce da \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\) a \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) e ricomincia a cresce da \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) a \(+\infty\). In particolare la derivata si annulla ovviamente in tutti i punti in cui cambia di segno e cioè in \(x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\) e ivi \(y\) né cresce né decresce.
Ciao seb, scusa il ritardo per ringraziarti...ho letto la risposta e mi sono messo a ristudiare e avevi proprio ragione.
E sono qui per chiederti un'altra piccola illuminazione: se da un lato pratico ipotizzando un'onda sonora sinusoidale la derivata prima dell'incremento del valore di sin(X) può essere intesa come amplificazione o attenuazione del suono, nel caso invece della tangente ad un suo punto A di questa onda sonora, la sua derivata prima cosa rappresenterebbe?...
E sono qui per chiederti un'altra piccola illuminazione: se da un lato pratico ipotizzando un'onda sonora sinusoidale la derivata prima dell'incremento del valore di sin(X) può essere intesa come amplificazione o attenuazione del suono, nel caso invece della tangente ad un suo punto A di questa onda sonora, la sua derivata prima cosa rappresenterebbe?...
Non ho ben capito la domanda, ma ci provo ugualmente: il coefficiente angolare (la pendenza) della retta tangente al grafico di una funzione in un punto è pari al valore che la derivata di tale funzione assume nel medesimo punto.
Grazie seb !! effettivamente leggendo il testo che sto studiando non avevo pensato al coefficiente angolare...
Alla prossima domanda!
Alla prossima domanda!
Ciao seb e tutti!
Una domanda veloce.... stavo iniziando a ripassare nel mio testo le derivate di funzioni di più variabili ad esempio f(x,y) ... ma nel procedimento noto una certa similitudine con le derivate di funzioni di funzioni ad esempio f(x[y]).... come si capisce la differenza tra queste?
Grazie
Luigi
Una domanda veloce.... stavo iniziando a ripassare nel mio testo le derivate di funzioni di più variabili ad esempio f(x,y) ... ma nel procedimento noto una certa similitudine con le derivate di funzioni di funzioni ad esempio f(x[y]).... come si capisce la differenza tra queste?
Grazie
Luigi
Molto della risposta che potrei dare dipende da cosa intendi, perciò sarebbe meglio che chiarissi il tuo dubbio.
Ciao Seb,
per esempio se io ho questa equazione :
$ y = sqrt(3u + 5x^2) $
Si vede che ci sono 2 variabili che magari nel contesto y potrebbe dipendere da entrambe le variabili quindi potrebbe essere funzione di funzione ( $ y'_(ux)=y'_u + y'_x $ ) o funzione a variabili multiple ( $ y'_(x)=y'_u u'_x $ ), no?... E' qui il dubbio di capire...
Grazie
per esempio se io ho questa equazione :
$ y = sqrt(3u + 5x^2) $
Si vede che ci sono 2 variabili che magari nel contesto y potrebbe dipendere da entrambe le variabili quindi potrebbe essere funzione di funzione ( $ y'_(ux)=y'_u + y'_x $ ) o funzione a variabili multiple ( $ y'_(x)=y'_u u'_x $ ), no?... E' qui il dubbio di capire...
Grazie
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