Partizione di un intervallo.
Buon pomeriggio!
Ho il seguente lemma, con relativa dimostrazione, della quale, però, non riesco a capire il significato della seconda riga. Mi potreste aiutare?
LEMMA:
Se $P_1$ e $P_2$ sono due partizioni dell'intervallo $[a,b]$ allora $exists P$ partizione di $[a,b]$ più fine di $P_1$ e $P_2$
DIMOSTRAZIONE:
sia $X = P_1 cup P_2$, card($X$) = $p in N$.
Considero $P= {z_0, z_1,...,z_p}$ tale che: $z_0 = min(X)$, $forall i = 1,...,p$, $z_i = min(x_i - bigcup_(j=0) ^(p-i) {x_i})$.
Quindi, $P_1 subset P, P_2 subset P, P$ partizione di $[a,b]$
Ho il seguente lemma, con relativa dimostrazione, della quale, però, non riesco a capire il significato della seconda riga. Mi potreste aiutare?
LEMMA:
Se $P_1$ e $P_2$ sono due partizioni dell'intervallo $[a,b]$ allora $exists P$ partizione di $[a,b]$ più fine di $P_1$ e $P_2$
DIMOSTRAZIONE:
sia $X = P_1 cup P_2$, card($X$) = $p in N$.
Considero $P= {z_0, z_1,...,z_p}$ tale che: $z_0 = min(X)$, $forall i = 1,...,p$, $z_i = min(x_i - bigcup_(j=0) ^(p-i) {x_i})$.
Quindi, $P_1 subset P, P_2 subset P, P$ partizione di $[a,b]$
Risposte
È una dimostrazione che hai trovato scritta in un quaderno o in un libro?
Tanto per cominciare qui come partizione di $[a,b]$ si intende un insieme di elementi compresi tra $a$ e $b$, mi pare.
Forse quello che non c'è scritto, dopo che si è detto che $P_1\cup P_2$ ha $p$ elementi, è che chiamiamo questo elementi $x_i$.
Dopodiché si procede a costruire la partizione $P$ della tesi. Il primo intervallino della partizione sarà $[a,z_0]$, dove $z_0$ è il punto più a sinistra tra gli $x_i$.
È scritta maluccio. Probabilmente per amor di precisione alla fine si è complicata talmente tanto una cosa intuitiva che si è sbagliato. (Controlla gli indici nella formula con l'unione indiciata).
Io ti consiglio di fare il disegno di un intervallo, di due partizioni, e di una partizione più fine di queste due. Così ti quadra?
Tanto per cominciare qui come partizione di $[a,b]$ si intende un insieme di elementi compresi tra $a$ e $b$, mi pare.
Forse quello che non c'è scritto, dopo che si è detto che $P_1\cup P_2$ ha $p$ elementi, è che chiamiamo questo elementi $x_i$.
Dopodiché si procede a costruire la partizione $P$ della tesi. Il primo intervallino della partizione sarà $[a,z_0]$, dove $z_0$ è il punto più a sinistra tra gli $x_i$.
È scritta maluccio. Probabilmente per amor di precisione alla fine si è complicata talmente tanto una cosa intuitiva che si è sbagliato. (Controlla gli indici nella formula con l'unione indiciata).
Io ti consiglio di fare il disegno di un intervallo, di due partizioni, e di una partizione più fine di queste due. Così ti quadra?
È una dimostra data a lezione...
Ciò che non riesco proprio a capire è quell'unione: cosa vuol dire? Quali elementi considera? :'(
Ciò che non riesco proprio a capire è quell'unione: cosa vuol dire? Quali elementi considera? :'(
Forse l'hai copiata male o forse capisco male io. Guardandola bene, non tornano gli indici.
Tanto per cominciare chiamiamo $x_1,...,x_p$ gli elementi di $P_1\cup P_2$, cioè gli estremi dei sottointervallini in cui dividiamo l'intervallo $[a,b]$. L'idea è che per costruire una partizione più fine delle due si considerano tutti questi $x_i$. Siccome non sappiamo che gli $x_i$ sono in ordine crescente, dobbiamo metterli in ordine considerandoli un po' per volta e prendendo ogni volta il minimo .
Quello che vuole dire quella formula con l'unione è che si considera l'insieme degli $x_i$ e si toglie l'insieme degli $x_j$ già considerati. Ma appunto un primo errore è che si dovrebbe scrivere $x_j$ in quell'unione. Seconda cosa, da quella formula sembra che esistano degli elementi $x_0,...,x_p$, cioè uno di troppo.
Riscriviamo in modo un po' diverso questa dimostrazione.
Intanto definiamo $z_1=\min X$, invece di $z_0$.
Poi poniamo, per ogni $i\in\{2,...,p\}$,
$$z_i=\min\left(\{x_1,\ldots,x_p\}\setminus\bigcup_{j=1}^i\{z_1,\ldots,z_j\}\right).$$
Così mi pare che torni tutto.
Tanto per cominciare chiamiamo $x_1,...,x_p$ gli elementi di $P_1\cup P_2$, cioè gli estremi dei sottointervallini in cui dividiamo l'intervallo $[a,b]$. L'idea è che per costruire una partizione più fine delle due si considerano tutti questi $x_i$. Siccome non sappiamo che gli $x_i$ sono in ordine crescente, dobbiamo metterli in ordine considerandoli un po' per volta e prendendo ogni volta il minimo .
Quello che vuole dire quella formula con l'unione è che si considera l'insieme degli $x_i$ e si toglie l'insieme degli $x_j$ già considerati. Ma appunto un primo errore è che si dovrebbe scrivere $x_j$ in quell'unione. Seconda cosa, da quella formula sembra che esistano degli elementi $x_0,...,x_p$, cioè uno di troppo.
Riscriviamo in modo un po' diverso questa dimostrazione.
Intanto definiamo $z_1=\min X$, invece di $z_0$.
Poi poniamo, per ogni $i\in\{2,...,p\}$,
$$z_i=\min\left(\{x_1,\ldots,x_p\}\setminus\bigcup_{j=1}^i\{z_1,\ldots,z_j\}\right).$$
Così mi pare che torni tutto.
Ti ringrazio... ora ne capisco anche il senso! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo