Parte reale/parte immaginaria

[poncelet]

Devo separare la parte reale dalla parte immaginaria della seguente funzione complessa:

[tex]$w=f(z)=ze^{-z}$[/tex]

Ho provato ad usare l'identità di Eulero:

[tex]f(z)=\frac{x+iy}{e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})}$[/tex]

ma non so come proseguire.

[Sk_Anonymous]

Moltiplica sopra e sotto per $(cosy-isiny)$.

[Camillo]

Prova a razionalizzare moltiplicando per $(cosy-isen y)/(cosy -iseny ) $

[poncelet]

Grande! Grazie.

[gugo82]

Più semplicemente [tex]$e^{-z}=e^{-x}\ e^{-\jmath y}=e^{-x}[\cos (-y)+\jmath\ \sin (-y)]=e^{-x}(\cos y-\jmath\ \sin y)$[/tex]...

[poncelet]

"gugo82":Più semplicemente [tex]$e^{-z}=e^{-x}\ e^{-\jmath y}=e^{-x}[\cos (-y)+\jmath\ \sin (-y)]=e^{-x}(\cos y-\jmath\ \sin y)$[/tex]...

In effetti questa era la mia prima scelta, poi però non ne ero sicuro e sviluppando le equazioni di Cauchy-Riemann non mi quadrava perché la funzione non risultava olomorfa mentre palesemente lo è. Devo aver sbagliato qualche calcolo. Adesso riprovo, anche perché con il metodo suggeritomi da speculor e camillo (per quanto corretto) venivano fuori dei calcolo kilometrici.

Allora vediamo:

[tex]$f(z)=ze^{-z}=(x+iy)e^{-x}e^{-iy}=(x+iy)e^{-x}(\cos{y}-i\sin{y})=e^{-x}[x\cos{y}+y\sin{y}+i(y\cos{y}-x\sin{y})]$[/tex]

Dunque

[tex]u(x,y)=e^{-x}(x\cos{y}+y\sin{y})$[/tex]

e

[tex]$v(x,y)=e^{-x}(y\cos{y}-x\sin{y})$[/tex]

Dunque calcolo le derivate parziali

[tex]$\frac{\delta u}{\delta x}=e^{-x}(\cos{y}-x\cos{y}-y\sin{y})$[/tex]

[tex]$\frac{\delta u}{\delta y}=e^{-x}(-x\sin{y}+\sin{y}+y\cos{y})$[/tex]

[tex]$\frac{\delta v}{\delta x}=-e^{-x}(y\cos{y}-x\sin{y}+\sin{y})$[/tex]

[tex]$\frac{\delta v}{\delta y}=e^{-x}(cos{y}-y\sin{y}-x\cos{y})$[/tex]

In effetti adesso quadra tutto:

[tex]$\frac{\delta u}{\delta x}=\frac{\delta v}{\delta y}$[/tex] e [tex]$\frac{\delta u}{\delta y}=-\frac{\delta v}{\delta x}$[/tex]