Parte Reale di una funzione complessa
Buona sera gente,
Nell'ambito delle equazioni differenziali del secondo ordine, mi trovo a studiare l'equazione Y''-Y=COS(X)
Seguendo i passaggi trovo la soluzione complessa che è [ -(x + 1) exp (ix) ]/2 e fin qui non ho problemi.
Poi il libro dice di prendere la parte REALE di questa funzione complessa, e mi viene spiattellato li il risultato che è (senx - xcosx)/2.
Non metto in dubbio il risultato ma qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi il procedimento che c'è dietro?
Grazie in anticipo!
Nell'ambito delle equazioni differenziali del secondo ordine, mi trovo a studiare l'equazione Y''-Y=COS(X)
Seguendo i passaggi trovo la soluzione complessa che è [ -(x + 1) exp (ix) ]/2 e fin qui non ho problemi.
Poi il libro dice di prendere la parte REALE di questa funzione complessa, e mi viene spiattellato li il risultato che è (senx - xcosx)/2.
Non metto in dubbio il risultato ma qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi il procedimento che c'è dietro?
Grazie in anticipo!
Risposte
Probabilmente non c'è alcun procedimento, ma un banale errore: non è per caso che il risultato è $[ -(x + i) e^(ix) ]/2$
Quello che mi dici tu il mio libro lo chiama "soluzione complessa".
Poi per concludere il problema mi dice di prendere la parte reale di questa funzione, che è (senx - xcosx)/2 e la chiama testualmente soluzione particolare dell'equazione proposta.
Se poi mi dici che basta fermarsi al passaggio prima, quello che mi hai scritto tu per intenderci, tanto meglio
Poi per concludere il problema mi dice di prendere la parte reale di questa funzione, che è (senx - xcosx)/2 e la chiama testualmente soluzione particolare dell'equazione proposta.
Se poi mi dici che basta fermarsi al passaggio prima, quello che mi hai scritto tu per intenderci, tanto meglio
Ma che vuol dire "soluzione complessa" ?
Che scherziamo ?
Ci fai una foto della pagina e la posti ?
Che scherziamo ?
Ci fai una foto della pagina e la posti ?
Ciao, perdonami se ti rispondo ora, ecco la foto:
Non so se si vede bene, in caso dimmelo che la ingrandisco.
Non so se si vede bene, in caso dimmelo che la ingrandisco.
Non mi sembra ci sia motivo di allarmarsi. La soluzione corretta è quella che dice Quinzio, ed è UNA soluzione dell'equazione (ce ne sono tante altre). Siccome l'equazione ha i coefficienti reali, se \(f\) è una soluzione anche \(\Re f\) lo è:
\[
(\Re f)'' -\Re f -\cos x = \Re \left( f'' -f -\cos x\right)=\Re 0=0.\]
Si tratta quindi di calcolare la parte reale della soluzione data da Quinzio, ed è facile, basta usare la formula
\[
e^{ix}=\cos x + i\sin x.\]
\[
(\Re f)'' -\Re f -\cos x = \Re \left( f'' -f -\cos x\right)=\Re 0=0.\]
Si tratta quindi di calcolare la parte reale della soluzione data da Quinzio, ed è facile, basta usare la formula
\[
e^{ix}=\cos x + i\sin x.\]
Prendi il numero complesso $[ -(x + i) e^(ix) ]/2$, per scriverlo nella forma canonica $a+ib$ in modo da poter mettere in evidenza la parte reale, devi passare dalla forma esponenziale a quella goniometrica e fare due conti
$[ -(x + i) e^(ix) ]/2 = -((x+i) (cos x + isin x))/2= (-x cos x -icos x -ix sin x + sin x)/2 =(sinx-xcosx)/2 +i(-cosx-xsinx)/2$.
$[ -(x + i) e^(ix) ]/2 = -((x+i) (cos x + isin x))/2= (-x cos x -icos x -ix sin x + sin x)/2 =(sinx-xcosx)/2 +i(-cosx-xsinx)/2$.
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