Parte reale di funzioni analitiche

[Webster]

Studiando una serie di esercizi già svolti,ho letto che la funzione $u(x,y)=x^2$ non può essere parte reale di funzioni analitiche del tipo $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ ma non capisco il perchè.Potete spiegarmelo?

[ciampax]

Bè, non è una cosa tanto immediata. La cosa si ricollega da una parte alle formule di Cauchy-Riemann, dall'altra al concetto di olomorfia e, ultimo ma non ultimo, al concetto di funzione armonica. Per farla semplice, puoi sempre provare a scriverti la funzione da analizzare in termini delle variabili complesse [tex]$z,\ \bar{z}$[/tex] e verificare se [tex]$\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=0$[/tex]: in tal caso la funzione è olomorfa e quindi può essere parte reale di una funzione analitica. In questo caso, come vedi facilmente, si ha

[tex]$u(x,y)=x^2=\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)^2\ \Rightarrow\ \frac{\partial u}{\partial\bar{z}}=\frac{z+\bar{z}}{2}\ne 0$[/tex]

[gugo82]

Come ha detto ciampax, il motivo principale è che [tex]$u(x,y)=x^2$[/tex] non è armonica: infatti:

[tex]$\Delta u (x,y) =u_{xx} (x,y) + u_{yy} (x,y) =2\neq 0$[/tex],

contro il fatto che le funzioni parte reale e coefficiente dell'immaginario di una funzione olomorfa sono armoniche.

Un altro motivo è che non esiste una funzione coniugata ad [tex]$u(x,y)=x^2$[/tex], ossia non esiste alcuna funzione [tex]$v(x,y)$[/tex] di classe [tex]$C^2$[/tex] e tale che:

[tex]$\begin{cases} v_y (x,y) =u_x (x,y) \\ v_x (x,y) =- u_y (x,y) \end{cases}$[/tex];

infatti il sistema:

[tex]$\begin{cases} v_y (x,y) =2x \\ v_x (x,y) =0 \end{cases}$[/tex]

non ammette soluzioni, giacché una qualsiasi soluzione della seconda equazione è del tipo [tex]$v(x,y)=\eta (y)$[/tex] e si vede che una funzione di tal genere non può soddisfare in alcun modo la prima equazione.

[ciampax]

E così gli abbiamo fatto vedere tutti e tre i motivi per cui la cosa non funziona!