Parte principale e ordine di infinitesimo

[baka1]

Ciao a tutti
Non riesco a risolvere questo esercizio, per $xrarr0$

$e^(e^x) - e^cos(x) = e(e^(x + o(x)) - e^(-1/2x^2 + o(x^2))))$ adesso non so più andare avanti

[Dymios]

Se si tratta di calcolare il limite di quella funzione per $x->0$, il limite vale 0 e non c'è bisogno di applicare Taylor.
Se devi calcolare l'ordine di infinitesimo, devi calcolare il limite della funzione fratto $x^alpha$ e fare in modo che venga finito e diverso da 0, poi l'ordine di infinitesimo è $alpha$.
Spero di aver capito quello che cerchi.
Ciao
Dymios

[baka1]

Si,
non sto calcolando il limite devo trovare un $kx^alpha$ tale per cui il $lim_(xrarr0)(e^(e^x) - e^(cos(x)))/(kx^alpha) = 1$
però non è per niente semplice, in generale basterebbe sviluppare ma come detto sopra
$e(e^(x + o(x)) - e^(-1/2x^2 + o(x^2)))$ da qui non so come fare

potrei anche procedere come da te consigliato ma oltre a spezzare il limite non mi vengono altre idee

[fireball1]

Continua a sviluppare... Per $x->0$ abbiamo:
$e^(x+o(x)) = 1+x+o(x)
$e^(-1/2x^2+o(x^2)) = 1 - 1/2 x^2 + o(x^2)=1+o(x)
Per cui il tutto è uguale a:
$e(1+x+o(x)-1+o(x)) = e(x+o(x)) = ex(1+o(1))$ per $x->0$
da cui l'ordine di infinitesimo è pari a 1.

[baka1]

Oh
che stupido che sono, grazie

[baka1]

Qui non mi quadra il segno
stesso tipo di esercizio per $sin(pi*sqrt(1 + x))$, dovrebbe essere
$sin(pi(1 + 1/2x + o(x)))$ quindi $sin(pi + pi/2 + o(x))$ poi
$sin(pi)cos(1/2x + o(x)) + cos(pi)sin(1/2x + o(x))$ perciò $-1*(1/2x + o(x))$
ora non sono un esperto però il $cos(pi) = -1$ perciò la parte principale è per forza $-1/2x$ però per il libro è $1/2x$

Che fine fa quel meno?