Parte positiva e negativa
Ciao,
In una dimostrazione nel libro leggo questo "richiamo": per ogni numero reale $x$ sono definite la parte positiva $x^+$ e la parte negativa $x^-$. Con (1) $x=x^(+)-x^-$ , (2) $x^+,x^(-)<=|x|$ e (3) $x^+,x^(-)>=0$.
Vorrei capirne di più. Per esempio, la (1) e la (3) mi sembrano in contrasto con la (2), infatti $10=15-5$, ma $15>|10|$
Non ho trovato altro nel libro.
In una dimostrazione nel libro leggo questo "richiamo": per ogni numero reale $x$ sono definite la parte positiva $x^+$ e la parte negativa $x^-$. Con (1) $x=x^(+)-x^-$ , (2) $x^+,x^(-)<=|x|$ e (3) $x^+,x^(-)>=0$.
Vorrei capirne di più. Per esempio, la (1) e la (3) mi sembrano in contrasto con la (2), infatti $10=15-5$, ma $15>|10|$
Non ho trovato altro nel libro.
Risposte
Mai sentita la parte positiva/negativa di un numero, tra l'altro la condizione $x^{+},x^{-}\le |x|$ mi pare troppo stringente e banalizza la definizione:
- se $x>0$ allora la parte positiva e negativa coincidono rispettivamente con $x^{+}=x$ e $x^{-}=0$;
- se $x=0$ allora $x^{+}=x^{-}=0$
- se $x< 0$ allora la parte positiva e negativa coincidono rispettivamente con $x^{+}=0$ e $x^{-}=-x$.
Penso che una domanda del genere abbia bisogno di maggior contesto.
- se $x>0$ allora la parte positiva e negativa coincidono rispettivamente con $x^{+}=x$ e $x^{-}=0$;
- se $x=0$ allora $x^{+}=x^{-}=0$
- se $x< 0$ allora la parte positiva e negativa coincidono rispettivamente con $x^{+}=0$ e $x^{-}=-x$.
Penso che una domanda del genere abbia bisogno di maggior contesto.
"Mathita":
Mai sentita la parte positiva/negativa di un numero, tra l'altro la condizione $x^{+},x^{-}\le |x|$ mi pare troppo stringente e banalizza la definizione:
- se $x>0$ allora la parte positiva e negativa coincidono rispettivamente con $x^{+}=x$ e $x^{-}=0$;
- se $x=0$ allora $x^{+}=x^{-}=0$
- se $x< 0$ allora la parte positiva e negativa coincidono rispettivamente con $x^{+}=0$ e $x^{-}=-x$.
Penso che una domanda del genere abbia bisogno di maggior contesto.
Questa definizione è coerente e fa "funzionare" il ragionamento.
In pratica usa questo concetto per dimostrare: convergenza assoluta $ rightarrow$ convergenza semplice per le serie numeriche.
Grazie
La parte positiva e la parte negativa sono due funzioni.
In particolare $(\cdot )^(+-): RR -> RR$ sono definite ponendo:
\[
\begin{split}
x^+ &:= \max \{0,x\}\; ,\\
x^- &:= - \min \{0,x\}\; .
\end{split}
\]
In particolare $(\cdot )^(+-): RR -> RR$ sono definite ponendo:
\[
\begin{split}
x^+ &:= \max \{0,x\}\; ,\\
x^- &:= - \min \{0,x\}\; .
\end{split}
\]
Come ho fatto a non accorgermene? Ho praticamente scritto la parte positiva e negativa della funzione identica. (Conoscevo la parte positiva e negativa di una funzione; leggere invece parte positiva e negativa di un numero reale mi ha mandato in tilt il cervello.)
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