Parte di uno studio di funzione

[tabpozz]

Sia $f(x)=(e^(2x)-5)/(e^x-3)$. Determinare il numero delle soluzioni reali, al variare di $k in RR$, dell'equazione $f(x)=k$.

Pensavo di dover trovare i valori per cui $(e^(2x)-5)/(e^x-3)=k$, invece nelle soluzioni riporta gli intervalli entro i quali deve essere compreso $k$ e il numero di soluzioni reali che ci sono al variare di $k$.

Non ho ben capito come devo procedere...

[franced]

"tabpozz":Sia $f(x)=(e^(2x)-5)/(e^x-3)$. Determinare il numero delle soluzioni reali, al variare di $k in RR$, dell'equazione $f(x)=k$.

Pensavo di dover trovare i valori per cui $(e^(2x)-5)/(e^x-3)=k$, invece nelle soluzioni riporta gli intervalli entro i quali deve essere compreso $k$ e il numero di soluzioni reali che ci sono al variare di $k$.

Non ho ben capito come devo procedere...

E' un esercizio pre-confezionato: poni $t=e^x$ e risolvi l'equazione di secondo grado che viene fuori.

E' di secondo grado perché $e^{2x} = (e^x)^2 = t^2$

[tabpozz]

Ok, grazie. Non capisco solo un'altra cosa. Risolvendo l'equazione, che, ponendo $t=e^x$ diventa $(t^2-tk+(3k-5))/(t-3)=0$, trovo due valori per cui il delta si annulla (e quindi c'è una sola soluzione), $k=10$ e $k=2$.

Il risultato che mi propongono è quello di porre $k$ alternativamente maggiore e minore del valore trovato e vedere quante soluzioni ci sono. Quindi per $k>10$ abbiamo due soluzioni ed è facilmente riscontrabile prendendo un qualsiasi valore di k e sostituendo. Tuttavia tra le soluzioni c'è anche un $k=5/3$. Da dove esce questo valore?

[Sk_Anonymous]

Ricordati che la tua incognita non è $t$ bensì $e^x$, quindi non puoi accettare soluzioni per $t<=0$

[tabpozz]

Beh si, certo... Infatti $5/3$ non è un valore negativo, però non riesco a capire da dove esce!

[Sk_Anonymous]

"tabpozz":Infatti $5/3$ non è un valore negativo

ma non è riferito a $t$ bensì a $k$
$5/3$ è il valore di $k$ che rende $t=0$ in pratica devi trovare i 2 valori di $k$ nei quali le soluzioni in $t$ cambiano segno, che sono $0$ e $5/3$, mentre $Delta>=0$ per $k<=2vvk>=10$, quindi i casi da studiare sono
$k<0$, $k=0$, $010$ in alcuni di questi casi non ci sono soluzioni o non sono accettabili perché il valore di t che ottieni è negativo o nullo e non può essere uguale a $e^x$
E rispondo anche alla domanda "da dove saltano fuori i valori $0$ e $5/3$?" sono i valori che annullano i coefficienti dell'equazione in t.