Parte di studio della funzione $x^n$ senza analisi.
Durante la prima esercitazione il docente ci ha fatto studiare la funzione $y=x^n$ senza usare gli strumenti dell'analisi, dimostrando la disuguaglianza di Bernoulli in itinere. (ovviamente $n in NN-{0}$)
Durante lo studio abbiamo limitato le osservazioni al semiasse positivo delle $x$.
Ad un certo punto è sorta la necessità di dimostrare che la funzione è continua, e cioè di dimostrare che, scelto un valore di $h in RR, h>0$ sufficientemente piccolo, anche $(x+h)^n$ e $x^n$ sono sufficientemente vicini.
Solo che non ho capito come si fa.
Dopo essere arrivato alla relazione:
$(x+h)^n-x^n=h*[(x+h)^(n-1)+(x+h)^(n-2)*x+...+(x+h)*x^(n-2)+x^(n-1)]$
Poi a questo punto veniva posto h=1 e a seguito di alcuni passaggi fatti di corsa senza che neanche potessi scrivermeli il prof. ha detto "come volevasi dimostrare".
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire?
Durante lo studio abbiamo limitato le osservazioni al semiasse positivo delle $x$.
Ad un certo punto è sorta la necessità di dimostrare che la funzione è continua, e cioè di dimostrare che, scelto un valore di $h in RR, h>0$ sufficientemente piccolo, anche $(x+h)^n$ e $x^n$ sono sufficientemente vicini.
Solo che non ho capito come si fa.
Dopo essere arrivato alla relazione:
$(x+h)^n-x^n=h*[(x+h)^(n-1)+(x+h)^(n-2)*x+...+(x+h)*x^(n-2)+x^(n-1)]$
Poi a questo punto veniva posto h=1 e a seguito di alcuni passaggi fatti di corsa senza che neanche potessi scrivermeli il prof. ha detto "come volevasi dimostrare".
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire?
Risposte
Devi fissare \(\epsilon>0\) e trovare un \(\delta>0\) tale che
\[
|(x+h)^n-x^n|\le \epsilon\]
se \(|h|<\delta\). Nota che \(\delta\) può dipendere da \(\epsilon\) e da \(x\), ma non da \(h\). Il primo passo è la formula che hai citato, la quale ti dà
\[
|(x+h)^n-x^n|\le |h| | (x+h)^{n-1} +\ldots+ x^{n-1}|.\]
Nota che, prendendo \(\delta\) sufficientemente piccolo, il membro destro è più piccolo di \(\delta\cdot \text{una roba complicata}\). Il problema è dare una stima di quella roba complicata. Provaci; tale stima può dipendere da \(x\) e da \(\delta\), ma non da \(h\).
\[
|(x+h)^n-x^n|\le \epsilon\]
se \(|h|<\delta\). Nota che \(\delta\) può dipendere da \(\epsilon\) e da \(x\), ma non da \(h\). Il primo passo è la formula che hai citato, la quale ti dà
\[
|(x+h)^n-x^n|\le |h| | (x+h)^{n-1} +\ldots+ x^{n-1}|.\]
Nota che, prendendo \(\delta\) sufficientemente piccolo, il membro destro è più piccolo di \(\delta\cdot \text{una roba complicata}\). Il problema è dare una stima di quella roba complicata. Provaci; tale stima può dipendere da \(x\) e da \(\delta\), ma non da \(h\).
Grazie della risposta, ma non riesco ancora a capire. Da dove escono i valori assoluti?
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