Parità e disparità della derivata
Ci sono questi due fatti che mi sembrano intuitivamente veri, ossia che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari, e che la derivata di una funzione dispari è una funzione pari. Ho provato a dimostrarli così:
Una funzione \(\displaystyle f \) pari è tale che \[\displaystyle f(x)=f(-x) \qquad \forall x \in \mbox{D}_{f} \]
si avrà quindi \[\displaystyle \mbox{D}[f(x)]=f \;'(x) \]
e, considerando \(\displaystyle f(-x) \) come funzione composta*, deduco che \[\displaystyle \mbox{D}[f(-x)]=(-x)' \cdot f \; '(-x)=-f \; '(-x) \]
Siccome dev'essere \[\displaystyle \mbox{D}[f(x)]=\mbox{D}[f(-x)] \]
se ne conclude che \[\displaystyle f \; '(x)=-f \; '(-x) \]
Analogamente si prova l'altro caso. Può andare bene?
____________________________________________
*Pongo idealmente \(\displaystyle g(x)=-x \), osservo che \(\displaystyle (f \circ g)(x)=f(g(x))=f(-x) \) e che \(\displaystyle \mbox{D}[f(g(x)]=g \; '(x) \cdot f \; ' (g(x)) \)
Una funzione \(\displaystyle f \) pari è tale che \[\displaystyle f(x)=f(-x) \qquad \forall x \in \mbox{D}_{f} \]
si avrà quindi \[\displaystyle \mbox{D}[f(x)]=f \;'(x) \]
e, considerando \(\displaystyle f(-x) \) come funzione composta*, deduco che \[\displaystyle \mbox{D}[f(-x)]=(-x)' \cdot f \; '(-x)=-f \; '(-x) \]
Siccome dev'essere \[\displaystyle \mbox{D}[f(x)]=\mbox{D}[f(-x)] \]
se ne conclude che \[\displaystyle f \; '(x)=-f \; '(-x) \]
Analogamente si prova l'altro caso. Può andare bene?
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*Pongo idealmente \(\displaystyle g(x)=-x \), osservo che \(\displaystyle (f \circ g)(x)=f(g(x))=f(-x) \) e che \(\displaystyle \mbox{D}[f(g(x)]=g \; '(x) \cdot f \; ' (g(x)) \)
Risposte
Sì, direi che va bene come ragionamento. In sostanza hai un'identità vera $AA x in D_f$; quindi derivi ambo i membri considerando $f(-x)$ come una funzione composta della variabile $x$.
Grazie, Seneca.
Ciao ragazzi,e buona Domenica,ad entrambi!!
Un piccolo appunto formale,giusto per non interrompere il delirio
:
direi che occorre scrivere $AAx$$inemptysetnedomf'$$subseteqdomf$,
altrimenti la funzione "pulviscolare" $g(x)=$${(0text{ se x}inQQ ),(text{ } 1 text{ se x}inRR-QQ):}$ $:RRtoRR$,
che è abbastanza semplice verificare esser pari,avrebbe funzione derivata dispari
(laddove quest'ultima,invece,addirittura non è ben definita..)!
Saluti dal web.
P.S.
OT
@Seneca:
la tua firma è una citazione ancor più elegante del principe De Curtis,e della sua LIvella?
A me,per antitesi,mi fà pensare "Il Trionfo primo:la Vita":
chissà come viene la sintesi...
OT
Un piccolo appunto formale,giusto per non interrompere il delirio
:direi che occorre scrivere $AAx$$inemptysetnedomf'$$subseteqdomf$,
altrimenti la funzione "pulviscolare" $g(x)=$${(0text{ se x}inQQ ),(text{ } 1 text{ se x}inRR-QQ):}$ $:RRtoRR$,
che è abbastanza semplice verificare esser pari,avrebbe funzione derivata dispari
(laddove quest'ultima,invece,addirittura non è ben definita..)!
Saluti dal web.
P.S.
OT
@Seneca:
la tua firma è una citazione ancor più elegante del principe De Curtis,e della sua LIvella?
A me,per antitesi,mi fà pensare "Il Trionfo primo:la Vita":
chissà come viene la sintesi...
OT
"theras":
Ciao ragazzi,e buona Domenica,ad entrambi!!
Un piccolo appunto formale,giusto per non interrompere il delirio
direi che occorre scrivere $AAx$$inemptysetnedomf'$$subseteqdomf$,
altrimenti la funzione "pulviscolare" $g(x)=$${(0text{ se x}inQQ ),(text{ } 1 text{ se x}inRR-QQ):}$ $:RRtoRR$,
che è abbastanza semplice verificare esser pari,avrebbe funzione derivata dispari
(laddove quest'ultima,invece,addirittura non è ben definita..)!
Saluti dal web.
E ti pareva.
Ma è derivabile quella "schifezza" di funzione lì?
"theras":
OT
@Seneca:
la tua firma è una citazione ancor più elegante del principe De Curtis,e della sua LIvella?
A me,per antitesi,mi fà pensare "Il Trionfo primo:la Vita":
chissà come viene la sintesi...
OT
No, è una citazione di Emil Cioran; ed essendo ben lontano dall'essere hegeliano, direi che non c'è sintesi.
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