Parere su limite con funzione integrale
Ciao, sono alle prese con questo limite:
$ lim_{x -> + infty}frac{ int_x^{x^2}sqrt{t^2+sin t}dt} {x^4+sin x^2} $
secondo me il numeratore tende a 0, per affermare questo ho pensato di applicare il teorema della media per cui
$ EE h in (x;x^2) : int_x^{x^2}sqrt{t^2+sin t}dt=frac{1}{x^2-x}cdot(sqrt{h^2+sin h}) $ ovviamente per $x$ grande si ha $x^2>x$
se $x -> infty$ anche $h -> infty$ allora $lim_{{: ( x ->+infty ),( h->+infty ) :}}frac{1}{x^2-x}cdot(sqrt{h^2+sin h})=0$.
Ritornando al limite di partenza il numeratore tende a 0, il denominatore a $+infty$, quindi il limite è 0.
Qualcuno sa dirmi se ho pensato correttamente oppure se ho sbagliato da qualche parte?
Grazie!!
$ lim_{x -> + infty}frac{ int_x^{x^2}sqrt{t^2+sin t}dt} {x^4+sin x^2} $
secondo me il numeratore tende a 0, per affermare questo ho pensato di applicare il teorema della media per cui
$ EE h in (x;x^2) : int_x^{x^2}sqrt{t^2+sin t}dt=frac{1}{x^2-x}cdot(sqrt{h^2+sin h}) $ ovviamente per $x$ grande si ha $x^2>x$
se $x -> infty$ anche $h -> infty$ allora $lim_{{: ( x ->+infty ),( h->+infty ) :}}frac{1}{x^2-x}cdot(sqrt{h^2+sin h})=0$.
Ritornando al limite di partenza il numeratore tende a 0, il denominatore a $+infty$, quindi il limite è 0.
Qualcuno sa dirmi se ho pensato correttamente oppure se ho sbagliato da qualche parte?
Grazie!!
Risposte
Secondo me non è un ragionamento formalmente corretto. Infatti chi ti dice che $h$ tenda ad infinito come la stessa velocità di $x$? Tu sai solo che $h\in [x,x^2]$, se stesse "più vicino" ad $x^2$ allora $h^2$ andrebbe come $x^4$ e il tuo ragionamento non andrebbe bene. Secondo me puoi pensare di usare il teorema fondamentale del calcolo integrale e De L'Hopital.
Paola
Paola
Grazie per la risposta,quello che dici è corretto! avevo pensato di applicare De l'Hopital ma dovrei dimostrare che il limite della funzione integrale è $+infty$, in tal caso la derivazione è semplicissima e il limite è fattibile, ma come fare ciò?
Sarebbe corretto procedere nel seguente modo?
$sqrt{t^2+sin t}$ si comporta, quando $t$ è grande, come la funzione $g(t)=t$ e quindi il valore di $lim_{x ->+infty} int_x^{x^2} sqrt{t^2+sin t}dt$ è lo stesso di $lim_{x ->+infty} int_x^{x^2} t dt$ e quindi vale $+infty$
Sarebbe corretto procedere nel seguente modo?
$sqrt{t^2+sin t}$ si comporta, quando $t$ è grande, come la funzione $g(t)=t$ e quindi il valore di $lim_{x ->+infty} int_x^{x^2} sqrt{t^2+sin t}dt$ è lo stesso di $lim_{x ->+infty} int_x^{x^2} t dt$ e quindi vale $+infty$
Prova a studiare un po' la funzione integranda. Magari riesci a fare una cosa del tipo
$\int_x^{x^2} f(t)dt \geq (x^2-x)\min(f)$ ottenendo qualcosa che va ad infinito.
Paola
$\int_x^{x^2} f(t)dt \geq (x^2-x)\min(f)$ ottenendo qualcosa che va ad infinito.
Paola
Ma sì che il numeratore va a infinito... Infatti l'integrando è \(\geq \sqrt{t^2-1}\), quindi l'integrale a numeratore è minorato da:
\[
\int_x^{x^2} \sqrt{t^2-1}\ \text{d} t
\]
che si calcola elementarmente e restituisce:
\[
\int_x^{x^2} \sqrt{t^2-1}\ \text{d} t = \frac{1}{2}\ \left(t\sqrt{t^2-1} -\operatorname{settcosh} t\right)\Bigg|_x^{x^2} \approx \frac{1}{2}\ x^4
\]
quando \(x\to \infty\).
Aggiungo una considerazione che porta a calcolare il limite senza usare il teorema del marchese.
Seguendo lo stesso ragionamento fatto per minorare si vede che il tuo integrando è anche \(\leq \sqrt{t^2+1}\), quindi l'integrale a numeratore è maggiorato da:
\[
\int_x^{x^2} \sqrt{t^2-1}\ \text{d} t = \frac{1}{2}\ \left(t\sqrt{t^2+1} +\operatorname{settsinh} t\right)\Bigg|_x^{x^2} \approx \frac{1}{2}\ x^4
\]
quando \(x\to \infty\).
Ne concludi che la funzione:
\[
\phi (x) := \int_x^{x^2} \sqrt{t^2+\sin t}\ \text{d} t
\]
diverge anch'essa come \(1/2\ x^4\) (per il teorema dei carabinieri); quindi il tuo limite vale \(\frac{1}{2}\).
\[
\int_x^{x^2} \sqrt{t^2-1}\ \text{d} t
\]
che si calcola elementarmente e restituisce:
\[
\int_x^{x^2} \sqrt{t^2-1}\ \text{d} t = \frac{1}{2}\ \left(t\sqrt{t^2-1} -\operatorname{settcosh} t\right)\Bigg|_x^{x^2} \approx \frac{1}{2}\ x^4
\]
quando \(x\to \infty\).
Aggiungo una considerazione che porta a calcolare il limite senza usare il teorema del marchese.
Seguendo lo stesso ragionamento fatto per minorare si vede che il tuo integrando è anche \(\leq \sqrt{t^2+1}\), quindi l'integrale a numeratore è maggiorato da:
\[
\int_x^{x^2} \sqrt{t^2-1}\ \text{d} t = \frac{1}{2}\ \left(t\sqrt{t^2+1} +\operatorname{settsinh} t\right)\Bigg|_x^{x^2} \approx \frac{1}{2}\ x^4
\]
quando \(x\to \infty\).
Ne concludi che la funzione:
\[
\phi (x) := \int_x^{x^2} \sqrt{t^2+\sin t}\ \text{d} t
\]
diverge anch'essa come \(1/2\ x^4\) (per il teorema dei carabinieri); quindi il tuo limite vale \(\frac{1}{2}\).
perfetto, tutto chiaro. Grazie
Ho aggiunto un paio di righe in cui mostro com'è possibile calcolare il limite senza usare il teorema del marchese. 
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