Parecchi problemucci con le serie
Salve! Ho qualche grosso problema a risolvere alcuni esercizi della serie di analisi che dobbiamo consegnare settimanalmente al prof. Qualcuno i può aiutare? (Spiegando in modo chiaro tutti i passaggi) Grazie infinite!
Risposte
Si tratta di questiti assai 'tosti' e questo mi pare assai indicativo del fatto che nelle università svizzere è 'tutt'altro andazzo' rispetto alle università di casa nostra 
...
Proverò a rispondere al questito 3b, vale a dire 'mostrare un esempio di successione divergente la cui media aritmetica è convergente'...
In un altro post chi scrive a dimostrato che una serie 'a cannocchiale' del tipo...
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n(n+k))$ (1)
... è convergente e la sua somma vale...
$s_k=1/k (1+1/2+1/3+...+1/k)$ (2)
Stando così le cose la successione...
$a_k= sum_(n=1)^(oo) k/(n(n+k))$=$1+1/2+1/3+...+1/k$ (3)
... dovrebbe godere della proprietà richiesta. Come si vede dalla (3) infatti le $a_k$ altro non sono che la somma dei primi k termini della serie armonica [la quale è divergente...], mentre la la successione delle 'medie aritmetiche' date dalle (2) converge a 0. Per valori di 'grandi' di k si ha infatti...
$s_k ~ (ln k + G)/k$ (4)
... dove G è una costante chiamata 'costante di Euler'...
cordiali saluti
lupo grigio
... Proverò a rispondere al questito 3b, vale a dire 'mostrare un esempio di successione divergente la cui media aritmetica è convergente'...
In un altro post chi scrive a dimostrato che una serie 'a cannocchiale' del tipo...
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n(n+k))$ (1)
... è convergente e la sua somma vale...
$s_k=1/k (1+1/2+1/3+...+1/k)$ (2)
Stando così le cose la successione...
$a_k= sum_(n=1)^(oo) k/(n(n+k))$=$1+1/2+1/3+...+1/k$ (3)
... dovrebbe godere della proprietà richiesta. Come si vede dalla (3) infatti le $a_k$ altro non sono che la somma dei primi k termini della serie armonica [la quale è divergente...], mentre la la successione delle 'medie aritmetiche' date dalle (2) converge a 0. Per valori di 'grandi' di k si ha infatti...
$s_k ~ (ln k + G)/k$ (4)
... dove G è una costante chiamata 'costante di Euler'...
cordiali saluti
lupo grigio
3a) 2o criterio di Cesaro.
Siano ${b_n}$ e ${c_n}$ successioni, se $c_n!=0$ $AAn$ e se ${c_n}$ è monotona crescente divergente a $+oo$ (oppure monotona decrescente divergente a $-oo$) allora
se esiste finito o infinito $lim_{n to +oo}(b_{n+1}-b_n)/(c_{n+1}-c_n)$ esiste $lim_{n to +oo}(b_n)/(c_n)$ e inoltre si ha $lim_{n to +oo}(b_n)/(c_n)=lim_{n to +oo}(b_{n+1}-b_n)/(c_{n+1}-c_n)$.
Quindi scegliamo ${b_n}=sum_{k=1}^na_k$ e ${c_n}=n$
$lim_{n to +oo}(sum_{k=1}^{n+1}a_k-sum_{k=1}^na_k)/(n+1-n)=$$lim_{n to +oo}a_{n+1}=a$ ,quest' ultima per ipotesi
per il criterio di Cesaro pertanto $1/nsum_{k=1}^{n}a_k to a$ per $a to +oo$.
Cosa studi Lando?
Siano ${b_n}$ e ${c_n}$ successioni, se $c_n!=0$ $AAn$ e se ${c_n}$ è monotona crescente divergente a $+oo$ (oppure monotona decrescente divergente a $-oo$) allora
se esiste finito o infinito $lim_{n to +oo}(b_{n+1}-b_n)/(c_{n+1}-c_n)$ esiste $lim_{n to +oo}(b_n)/(c_n)$ e inoltre si ha $lim_{n to +oo}(b_n)/(c_n)=lim_{n to +oo}(b_{n+1}-b_n)/(c_{n+1}-c_n)$.
Quindi scegliamo ${b_n}=sum_{k=1}^na_k$ e ${c_n}=n$
$lim_{n to +oo}(sum_{k=1}^{n+1}a_k-sum_{k=1}^na_k)/(n+1-n)=$$lim_{n to +oo}a_{n+1}=a$ ,quest' ultima per ipotesi
per il criterio di Cesaro pertanto $1/nsum_{k=1}^{n}a_k to a$ per $a to +oo$.
Cosa studi Lando?
4) sqrt(n) *( n^(1/n) - 1)=
= sqrt(n) *( e^[ln(n)/n] - 1)=
= sqrt(n) * ln(n)/n *( e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)] =
= ln(n)/sqrt(n) *( e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]
ln(n)/sqrt(n) -->0
(e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]-->1 (limite notevole )
e quindi il limite è 0
= sqrt(n) *( e^[ln(n)/n] - 1)=
= sqrt(n) * ln(n)/n *( e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)] =
= ln(n)/sqrt(n) *( e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]
ln(n)/sqrt(n) -->0
(e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]-->1 (limite notevole )
e quindi il limite è 0
Studio matematica al politecnico di Zurigo (ETHZ)! Conoscete?
Cmq io non sono ancora riuscito a risolvere il 7a! Qualcuno di voi potrebbe provare a...
Grazie infinite per il vostro aiuto!
Cmq io non sono ancora riuscito a risolvere il 7a! Qualcuno di voi potrebbe provare a...
Grazie infinite per il vostro aiuto!
"Piera":
4) sqrt(n) *( n^(1/n) - 1)=
= sqrt(n) *( e^[ln(n)/n] - 1)=
= sqrt(n) * ln(n)/n *( e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)] =
= ln(n)/sqrt(n) *( e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]
ln(n)/sqrt(n) -->0
(e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]-->1 (limite notevole )
e quindi il limite è 0
Ma non mi torna una cosa perché (e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]-->1 (limite notevole ) ma per x che tende a zero! Mentre per x che tende ad infinito, quello fa infinito e quindi mi ritrovo con una forma di indecisione del dipo : * infinito!
Lando wrote: Studio matematica al politecnico di Zurigo [ETHZ]!... Conoscete?...
Se ben ricordo da quella 'scuola' sono usciti alcune delle menti che hanno 'creato' la fisica quantistica [Einstein, Pauli, Neumann, ...] per cui... credo proprio che questo basta e avanza!...
Scendendo comunque a dimensioni assai più modeste torniamo ai problemi che ci ha posto Lando. Qualcosa non mi quadra a proposito del nunero 5...
Determinare il punto di convergenza della sequenza ...
$a_1=1$ , $a_(n+1)= sqrt(1+a_n^2)$ (1)
Se non sbaglio, in base a semplice colpo d'occhio, la sequenza data si scrive...
$a_n = sqrt(n)$ (2)
... la quale, ovviamente, converge a $oo$ al crescere di n. E' giusto questo?...
cordiali saluti
lupo grigio
Se ben ricordo da quella 'scuola' sono usciti alcune delle menti che hanno 'creato' la fisica quantistica [Einstein, Pauli, Neumann, ...] per cui... credo proprio che questo basta e avanza!...
Scendendo comunque a dimensioni assai più modeste torniamo ai problemi che ci ha posto Lando. Qualcosa non mi quadra a proposito del nunero 5...
Determinare il punto di convergenza della sequenza ...
$a_1=1$ , $a_(n+1)= sqrt(1+a_n^2)$ (1)
Se non sbaglio, in base a semplice colpo d'occhio, la sequenza data si scrive...
$a_n = sqrt(n)$ (2)
... la quale, ovviamente, converge a $oo$ al crescere di n. E' giusto questo?...
cordiali saluti
lupo grigio
In effetti la sequenza era definita come...
$a_1=1$, $a_(n+1)=sqrt(1+a_n)$ (1)
... e non come ho scritto io $a_(n+1)=sqrt(1+a_n^2)$...
In effetti sarebbe stato troppo facile... non mi tresta che rimettermi al lavoro...
cordiali saluti
lupo grigio
$a_1=1$, $a_(n+1)=sqrt(1+a_n)$ (1)
... e non come ho scritto io $a_(n+1)=sqrt(1+a_n^2)$...
In effetti sarebbe stato troppo facile... non mi tresta che rimettermi al lavoro...
cordiali saluti
lupo grigio
@ Lando
vale il seguente limite notevole:
sia a(n) una successione tale che a(n)-->0
per n-->+infinito , allora
(e^[a(n)] - 1)/a(n) -->1 per n-->+infinito
nel nostro caso a(n)= ln(n)/n che tende a zero per n-->+infinito e quindi si può applicare il limite notevole che ho scritto
vale il seguente limite notevole:
sia a(n) una successione tale che a(n)-->0
per n-->+infinito , allora
(e^[a(n)] - 1)/a(n) -->1 per n-->+infinito
nel nostro caso a(n)= ln(n)/n che tende a zero per n-->+infinito e quindi si può applicare il limite notevole che ho scritto
Non mi è affatto chiaro perché puoi usare quel limite! Proprio proprio non ci sono!
Per il N°5 propongo questa soluzione (certamente migliorabile nella prima parte)
Si ha :
$a_1=1,a_2=sqrt2>a_1,a_3=sqrt(1+sqrt2)>a_2,....,a_(n+1)>a_n$
Questo prova che la successione e' strettamente crescente.Ora dall'ultima
relazione segue:
$sqrt(1+a_n)>a_n$
Da cui la disequazione:$a_n^2-a_n-1<0$ verificata per $0
e cio' prova che la successione e' anche limitata e pertanto convergente.
Cio' permette di passare al limite per $n->oo$ nella relazione ricorsiva per avere:
$L=sqrt(L+1)$ da cui $L=(1+sqrt5)/2$ che e' il limite richiesto.
Archimede.
Si ha :
$a_1=1,a_2=sqrt2>a_1,a_3=sqrt(1+sqrt2)>a_2,....,a_(n+1)>a_n$
Questo prova che la successione e' strettamente crescente.Ora dall'ultima
relazione segue:
$sqrt(1+a_n)>a_n$
Da cui la disequazione:$a_n^2-a_n-1<0$ verificata per $0
e cio' prova che la successione e' anche limitata e pertanto convergente.
Cio' permette di passare al limite per $n->oo$ nella relazione ricorsiva per avere:
$L=sqrt(L+1)$ da cui $L=(1+sqrt5)/2$ che e' il limite richiesto.
Archimede.
@ Lando
sicuramente sai che
lim (e^x - 1)/x =1
x->0
si può dimostrare che se al posto di x ci metto una successione a(n) che tende a zero per n-->+infinito, allora si ottine il limite notevole
lim (e^[a(n)] - 1)/a(n) =1
n->+inf
se prendo ad esempio a(n)=1/n si ha
lim (e^(1/n) - 1)/(1/n) =1
n->+inf
sicuramente sai che
lim (e^x - 1)/x =1
x->0
si può dimostrare che se al posto di x ci metto una successione a(n) che tende a zero per n-->+infinito, allora si ottine il limite notevole
lim (e^[a(n)] - 1)/a(n) =1
n->+inf
se prendo ad esempio a(n)=1/n si ha
lim (e^(1/n) - 1)/(1/n) =1
n->+inf
@ Peria
Sei geniale! Dopo 8 ore filate a risolvere problemi di analisi ad una cosa del genere non ci avrei proprio pensato sono proprio fuso!
No è che per caso hai la dimostrazione che¨
lim (e^x - 1)/x =1
x->0
Sei geniale! Dopo 8 ore filate a risolvere problemi di analisi ad una cosa del genere non ci avrei proprio pensato sono proprio fuso!
No è che per caso hai la dimostrazione che¨
lim (e^x - 1)/x =1
x->0
anche se non so i teoremi che avete studiato, secondo me ti dovrebbe essere stato detto che
lim (e^[a(n)] - 1)/a(n) =1
n->+inf
con a(n) infinitesima
anche perchè questo limite notevole si trova in quasi tutti i libri di analisi matematica insieme ad altri tipo
lim sen(a(n))/a(n) =1
n->+inf
con a(n) infinitesima
quindi, anche se ribadisco che non so quali teoremi avete studiato, io nel calcolo del limite mi limiterei a dire che
(e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]-->1 ( limite notevole )
magari guarda bene i tuoi appunti o il libro di analisi, qualcosa al riguardo ci dovrebbe essere...
se proprio non avete fatto queste cose, mi è venuto in mente ora che il limite si potrebbe risolvere anche con la formula di taylor, anche se credo che la strada migliore sia quella di utilizzare il limite notevole
lim (e^[a(n)] - 1)/a(n) =1
n->+inf
con a(n) infinitesima
anche perchè questo limite notevole si trova in quasi tutti i libri di analisi matematica insieme ad altri tipo
lim sen(a(n))/a(n) =1
n->+inf
con a(n) infinitesima
quindi, anche se ribadisco che non so quali teoremi avete studiato, io nel calcolo del limite mi limiterei a dire che
(e^[ln(n)/n] - 1)/[ln (n)/n)]-->1 ( limite notevole )
magari guarda bene i tuoi appunti o il libro di analisi, qualcosa al riguardo ci dovrebbe essere...
se proprio non avete fatto queste cose, mi è venuto in mente ora che il limite si potrebbe risolvere anche con la formula di taylor, anche se credo che la strada migliore sia quella di utilizzare il limite notevole
Complimenti ad Archimede per la semplicità della soluzione trovata!...
In effetti se impostiamo il problema in modo un poco generale ci rendiamo conto che, data la sequenza...
$a_(n+1)=sqrt(1+a_n)$ (1)
... se imponiamo che essa sia crescente significa che per ogni $a_n$ è...
$0
Ciò significa che, per qualunque valore di $a_1$ compreso nei limiti della (2) [quindi anche per $a_1=1$...] la sequenza convergerà verso il valore $a= (1+sqrt(5))/2$. D'altra parte però imporre che la sequenza sia decrescente significa che per ogni $a_n$ è...
$a_n>(1+sqrt(5))/2$ (3)
... per cui per ogni valore di $a_1$ che soddisfa la (3) la sequenza convergerà sempre ad a. Infine per $a_1=a$ è evidente che la seqenza si riduce ad $a_n=a$ per ogni n...
In conclusione per qualunque valore iniziale di $a_1$ non negativo, la sequenza (1)converge ad $a= (1+sqrt(5))/2$... davvero interessante!...
cordiali saluti
lupo grigio
In effetti se impostiamo il problema in modo un poco generale ci rendiamo conto che, data la sequenza...
$a_(n+1)=sqrt(1+a_n)$ (1)
... se imponiamo che essa sia crescente significa che per ogni $a_n$ è...
$0
Ciò significa che, per qualunque valore di $a_1$ compreso nei limiti della (2) [quindi anche per $a_1=1$...] la sequenza convergerà verso il valore $a= (1+sqrt(5))/2$. D'altra parte però imporre che la sequenza sia decrescente significa che per ogni $a_n$ è...
$a_n>(1+sqrt(5))/2$ (3)
... per cui per ogni valore di $a_1$ che soddisfa la (3) la sequenza convergerà sempre ad a. Infine per $a_1=a$ è evidente che la seqenza si riduce ad $a_n=a$ per ogni n...
In conclusione per qualunque valore iniziale di $a_1$ non negativo, la sequenza (1)converge ad $a= (1+sqrt(5))/2$... davvero interessante!...
cordiali saluti
lupo grigio
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