Parametrizzazione superficie di rotazione
Questo esercizio mi ha mandato in crisi:
"Impostare l'integrale per il calcolo dell'area di superficie ottenuta effettuando una rotazione di $2pi$ intorno all'asse z della funzione $y=z^2+2$, per $z\in[0,1]$"
Quindi devo impostare l'integrale $intint_\Sigmad\sigma$.
Il problema mi sorge subito in quanto non saprei come parametrizzare $\Sigma$.
Perdonatemi se scriverò delle cose senza senso, ma è la prima volta che provo a parametrizzare una superficie di rotazione.
Praticamente mi sono mosso in questo modo:
Mi sono tracciato la curva sul piano yz e, ruotando di $2pi$ rispetto l'asse z, mi sono reso conto che il raggio di ogni generica "fetta" (che dovrebbe essere una circonferenza) è $z^2+2$.
Quindi parametrizzerei la superficie nel seguente modo:
$\Sigma={(x=(u^2+2)cosv),(y=(u^2+2)sinv),(z=u):}$ con $u\in[0,1]$ e $v\in[0,2pi]$
La domanda è chiara: la parametrizzazione è corretta?
"Impostare l'integrale per il calcolo dell'area di superficie ottenuta effettuando una rotazione di $2pi$ intorno all'asse z della funzione $y=z^2+2$, per $z\in[0,1]$"
Quindi devo impostare l'integrale $intint_\Sigmad\sigma$.
Il problema mi sorge subito in quanto non saprei come parametrizzare $\Sigma$.
Perdonatemi se scriverò delle cose senza senso, ma è la prima volta che provo a parametrizzare una superficie di rotazione.
Praticamente mi sono mosso in questo modo:
Mi sono tracciato la curva sul piano yz e, ruotando di $2pi$ rispetto l'asse z, mi sono reso conto che il raggio di ogni generica "fetta" (che dovrebbe essere una circonferenza) è $z^2+2$.
Quindi parametrizzerei la superficie nel seguente modo:
$\Sigma={(x=(u^2+2)cosv),(y=(u^2+2)sinv),(z=u):}$ con $u\in[0,1]$ e $v\in[0,2pi]$
La domanda è chiara: la parametrizzazione è corretta?
Risposte
anche la risposta è chiara: si 
da integrare in coordinate cilindriche chiaramente.
da integrare in coordinate cilindriche chiaramente.
...sospiro di sollievo! 
grazie per la risposta!
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