Parametrizzazione Superficie
Salve,
sapete darmi una conferma sulla parametrizzazione di queste superfici:
$1) $Superficie $S$ ottenuta dalla rotazione di un angolo retto attorno all'asse $z$ della curva di eq. $z=x^2 - 1$, $x in [0,1]$ orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
$ { ( x=tcostau ),( y=tsen \tau ),( z=t^2 -1 ):} $
$t in [0,1]$ e $ \tau in [0, pi/2] $
$2) $Superficie cilindrica $S$ avente per generatrice la curva di eq. $x=1-y^2$, $y in [0,1]$ e le direttrici parallele all'asse $z$, orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
$ { ( x=1-t^2 ),( y=t ),( z= \tau ):} $
$t in [0,1] $
$3) $ Superficie ottenuta dalla rotazione di un angolo giro attorno all'asse $z$ della curva di eq. $z=x^2 -x$, $x in [0,1]$.
$ { ( x=tcostau ),( y=tsen \tau ),( z=t^2 -t ):} $
$t in [0,1]$ e $ \tau in [0, 2pi] $
Sapete dirmi se sono tutte e tre esatte??? Grazie.
sapete darmi una conferma sulla parametrizzazione di queste superfici:
$1) $Superficie $S$ ottenuta dalla rotazione di un angolo retto attorno all'asse $z$ della curva di eq. $z=x^2 - 1$, $x in [0,1]$ orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
$ { ( x=tcostau ),( y=tsen \tau ),( z=t^2 -1 ):} $
$t in [0,1]$ e $ \tau in [0, pi/2] $
$2) $Superficie cilindrica $S$ avente per generatrice la curva di eq. $x=1-y^2$, $y in [0,1]$ e le direttrici parallele all'asse $z$, orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
$ { ( x=1-t^2 ),( y=t ),( z= \tau ):} $
$t in [0,1] $
$3) $ Superficie ottenuta dalla rotazione di un angolo giro attorno all'asse $z$ della curva di eq. $z=x^2 -x$, $x in [0,1]$.
$ { ( x=tcostau ),( y=tsen \tau ),( z=t^2 -t ):} $
$t in [0,1]$ e $ \tau in [0, 2pi] $
Sapete dirmi se sono tutte e tre esatte??? Grazie.
Risposte
Sì, sono corrette. Nel secondo caso ti sei dimenticato di scrivere dove varia $\tau$.
"ciampax":
Sì, sono corrette. Nel secondo caso ti sei dimenticato di scrivere dove varia $\tau$.
mmm varia anch'esso tra $[0,1]$ ??
Secondo me $\tau\in[0,+\infty)$ (o, per lo meno, non mi pare ci siano limitazioni a quanto debba essere alta).
"ciampax":
Secondo me $\tau\in[0,+\infty)$ (o, per lo meno, non mi pare ci siano limitazioni a quanto debba essere alta).
In questo caso come si risolve poi l'integrale superficiale di $ int_(S) \nablaF \cdot nu dsigma $
con $\nablaF=(2x+2y,1+2x)$ ???
($\nu$ sarebbe la normale uscente dalla superficie..)
Ah, mmmmm, allora da qualche parte te lo deve dire dove varia $z$.
"ciampax":
Ah, mmmmm, allora da qualche parte te lo deve dire dove varia $z$.
Ho ricontrollato la traccia è giusta riguardo la superficie, poi semplicemente aggiunge di calcolare quell'integrale superficiale (che sarebbe il flusso).. però provandolo a fare mi sorge il dubbio
come mi comporto riguardo all'integrale per gli estremi di integrazione???
Aspetta, ma il campo è bidimensionale?
"ciampax":
Aspetta, ma il campo è bidimensionale?
Si, in $RR^2$
Bé, allora qualcosa non quadra: se il campo ha sole due componenti e la normale uscente 3 (visto che le superfici sono in $RR^3$) il prodotto scalare come lo costruisci? La scriveresti per bene la traccia di questo esercizio, per favore?
Allora, c'è prima un esercizio sui max e min che dice:
1) Determinare i punti estremanti locali della funzione $f(x,y)=x^2 + y + 2xy$
poi
2) Calcolare il flusso di $\nablaf $ attraverso la superficie cilindrica $S$ avente per generatrice la curva di eq. $x=1−y2$ , $y in [0,1]$ e le direttrici parallele all'asse $z$, orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
$\nablaf$ sarebbe il gradiente della funzione al secondo esercizio, ovvero il campo $(2x+2y,1+2x)$.
Al massimo si può mettere $0$ come terzo componente del campo??
1) Determinare i punti estremanti locali della funzione $f(x,y)=x^2 + y + 2xy$
poi
2) Calcolare il flusso di $\nablaf $ attraverso la superficie cilindrica $S$ avente per generatrice la curva di eq. $x=1−y2$ , $y in [0,1]$ e le direttrici parallele all'asse $z$, orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
$\nablaf$ sarebbe il gradiente della funzione al secondo esercizio, ovvero il campo $(2x+2y,1+2x)$.
Al massimo si può mettere $0$ come terzo componente del campo??
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