Parametrizzazione per teorema di Stokes
Salve ragazzi, scrivo per chiedere a voi se siete in grado di spiegarmi come risolvere gli esercizi di questo genere:
Sia $ sum ={(x,y,z) in RR ^3: x^2+y^2+(z-1)^2=1, 0leqzleq1} $ la superficie, calcolare il flusso del $ rot V $ $ V=(2x-3yz+y^2, zx+4y,z^2-xy) $. Io ho provato a risolverlo parametrizzando la superficie secondo la normale ma non riesco a capire che verso deve avere la parametrizzazione e, di conseguenza, come risolvere il problema. Grazie a chiunque mi rispondera!
Sia $ sum ={(x,y,z) in RR ^3: x^2+y^2+(z-1)^2=1, 0leqzleq1} $ la superficie, calcolare il flusso del $ rot V $ $ V=(2x-3yz+y^2, zx+4y,z^2-xy) $. Io ho provato a risolverlo parametrizzando la superficie secondo la normale ma non riesco a capire che verso deve avere la parametrizzazione e, di conseguenza, come risolvere il problema. Grazie a chiunque mi rispondera!
Risposte
Ciao Controllore, l'unica cosa che posso fare e provare ad immaginare la superficie $Sigma$: a me sembra (controlla bene anche tu) una semisfera di raggio unitario con centro sull'asse z, coordinata +1.
È una semisfera, però non riesco ad applicare il teorema...
Ti stai facendo dei problemi inutili, a mio avviso. Il teorema del rotore afferma che
$\int_{\Sigma} (\nabla\times V)\cdot d\sigma=\int_{\partial\Sigma} V\cdot dr$
dove ho indicato con $\times$ il prodotto vettoriale, con $\cdot$ il prodotto scalare e con $\partial\Sigma$ la curva che rappresenta (concatena) il bordo della tua superficie. Come notavi, essendo $\Sigma$ una semisfera, la curva bordo è data dalla circonferenza equatoriale, cioè la circonferenza massima il cui piano passa per il centro della sfera: essa si ottiene per $z=1$ (la semisfera ha centro $(0,0,1)$) e quindi ha equazione
$z=1,\qquad x^2+y^2=1$
A questo punto, basta calcolare l'integrale curvilineo (che è una circuitazione, ma non trovavo il simbolo) lungo tale curva (che puoi parametrizzare con $(\cos t,\ sin t,\ 1),\ t\in[0,2\pi)$).
$\int_{\Sigma} (\nabla\times V)\cdot d\sigma=\int_{\partial\Sigma} V\cdot dr$
dove ho indicato con $\times$ il prodotto vettoriale, con $\cdot$ il prodotto scalare e con $\partial\Sigma$ la curva che rappresenta (concatena) il bordo della tua superficie. Come notavi, essendo $\Sigma$ una semisfera, la curva bordo è data dalla circonferenza equatoriale, cioè la circonferenza massima il cui piano passa per il centro della sfera: essa si ottiene per $z=1$ (la semisfera ha centro $(0,0,1)$) e quindi ha equazione
$z=1,\qquad x^2+y^2=1$
A questo punto, basta calcolare l'integrale curvilineo (che è una circuitazione, ma non trovavo il simbolo) lungo tale curva (che puoi parametrizzare con $(\cos t,\ sin t,\ 1),\ t\in[0,2\pi)$).
Io lo risolvevo facendo il rotore del campo, sostituendoci i numeri e calcolandolo da 0 a 2pigreco! Il problema è che la parametrizzazione mi veniva invertita tra x ed y, stravolgendo il risultato... Devo farla oraria o antioraria?
Controllore, forse non mi sono spiegato e quindi cercherò di essere più chiaro.
Se tu scrivi come titolo della discussione "Parametrizzazione per Teorema di Stokes" automaticamente è sottinteso che tu chieda "Come si applica il Teorema di Stokes" che è quello che ti ho detto.
Per cui ripeto: secondo me ti stai facendo problemi inutili. Ora ti è più chiaro il concetto?
E ti assicuro che mettersi a fare il calcolo dell'integrale a sinistra (nella formula che ti ho scritto io) ti porta via 4 anni di vita!
Se tu scrivi come titolo della discussione "Parametrizzazione per Teorema di Stokes" automaticamente è sottinteso che tu chieda "Come si applica il Teorema di Stokes" che è quello che ti ho detto.
Per cui ripeto: secondo me ti stai facendo problemi inutili. Ora ti è più chiaro il concetto?
E ti assicuro che mettersi a fare il calcolo dell'integrale a sinistra (nella formula che ti ho scritto io) ti porta via 4 anni di vita!
Hai ragione, allora ti faccio questa domanda e basta: per il flusso uscente da una superficie, la parametrizzazione della stessa risulta essere in verso orario o antiorario? Grazie per tutto quello che mi hai scritto in precedenza!
Di solito, in senso antiorario: la normale uscente la devi vedere sempre a sinistra se ci giri intorno, per cui devi girare in senso antiorario.
Mi rimangio quello che ho detto riguardo l'ultima domanda, questa è l'ultima sul serio:
Nei compiti svolti di una mia amica, quando parametrizza una superficie conica con la normale uscente dalla circonferenza massima per poi applicare il teorema di Stokes, se questa è rivolta verso l'alto (ad esempio: vertice del cono nell'origine e circonferenza massima in z=1) lei usa la parametrizzazione antioraria (x=sin(a),y=cos(a), z=1). Stando a quello che dici te, la x e la y dovrebbero avere le parametrizzazioni invertite. Sbaglia lei oppure ho interpretato male io? Lei scrive, ad esempio: parametrizzo concordemente alla normale (0,0,1) ---> (x=sin(a),y=cos(a), z=1).
Nei compiti svolti di una mia amica, quando parametrizza una superficie conica con la normale uscente dalla circonferenza massima per poi applicare il teorema di Stokes, se questa è rivolta verso l'alto (ad esempio: vertice del cono nell'origine e circonferenza massima in z=1) lei usa la parametrizzazione antioraria (x=sin(a),y=cos(a), z=1). Stando a quello che dici te, la x e la y dovrebbero avere le parametrizzazioni invertite. Sbaglia lei oppure ho interpretato male io? Lei scrive, ad esempio: parametrizzo concordemente alla normale (0,0,1) ---> (x=sin(a),y=cos(a), z=1).
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