Parametrizzazione di una curva data
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Chiede di determinare una parametrizzazione della curva chiusa $\gamma$ che
si ottiene percorrendo prima da sinistra verso destra il grafico della funzione $f(x) = (1/3) (2x-1)^{3/2}, 1/2 <= x <= 1$e poi da destra a sinistra il segmento congiungente gli estremi del grafico di f stessa. Disegnare quindi il sostegno della curva e infine la lunghezza. (Sidequest: stabilire se la curva è semplice).
Non so bene come trovare una parametrizzazione, tuttavia farne il grafico non mi è sembrato particolarmente difficile (almeno a mano), e per questo direi: la curva ovviamente è chiusa, semplice potrebbe esserlo (anche se il punto $x = 1$ mi disturba, cioè se trovassi una parametrizzazione unica probabilmente direi che è semplice)
Il problema è che non so trovare una parametrizzazione unica, tuttavia la lunghezza della curva ho pensato di trovarla calcolando le lunghezze di $\phi = [(x=t),(y = 1/3 (2t-1)^{3/2})], \phi_2 = [(x=t),(y=1/3 (2t-1))]$. Probabilmente è sbagliato perché è come se spezzassi la curva in due curve chiuse con uguali estremi. In ogni caso il risultato ottenuto è: $L(\phi_1) + L(\phi_2) = \sqrt13 / 6 + \frac{2\sqrt2 -1}{3}$
Probabilmente è sbagliato il procedimento, però è l'unica soluzione più vicina ad una parametrizzazione "unica" che mi è venuta in mente
Chiede di determinare una parametrizzazione della curva chiusa $\gamma$ che
si ottiene percorrendo prima da sinistra verso destra il grafico della funzione $f(x) = (1/3) (2x-1)^{3/2}, 1/2 <= x <= 1$e poi da destra a sinistra il segmento congiungente gli estremi del grafico di f stessa. Disegnare quindi il sostegno della curva e infine la lunghezza. (Sidequest: stabilire se la curva è semplice).
Non so bene come trovare una parametrizzazione, tuttavia farne il grafico non mi è sembrato particolarmente difficile (almeno a mano), e per questo direi: la curva ovviamente è chiusa, semplice potrebbe esserlo (anche se il punto $x = 1$ mi disturba, cioè se trovassi una parametrizzazione unica probabilmente direi che è semplice)
Il problema è che non so trovare una parametrizzazione unica, tuttavia la lunghezza della curva ho pensato di trovarla calcolando le lunghezze di $\phi = [(x=t),(y = 1/3 (2t-1)^{3/2})], \phi_2 = [(x=t),(y=1/3 (2t-1))]$. Probabilmente è sbagliato perché è come se spezzassi la curva in due curve chiuse con uguali estremi. In ogni caso il risultato ottenuto è: $L(\phi_1) + L(\phi_2) = \sqrt13 / 6 + \frac{2\sqrt2 -1}{3}$
Probabilmente è sbagliato il procedimento, però è l'unica soluzione più vicina ad una parametrizzazione "unica" che mi è venuta in mente
Risposte
Scusa, perché ritieni che la curva non sia chiusa? Dal disegno (e dalla traccia) è evidente che lo sia. È anche semplice (non si autointerseca) e regolare a tratti. Sulle parametrizzazioni non c'è molto da dire, a parte il fatto che nel momento in cui parametrizzi il segmento, non hai rispettato l'orientazione imposta dalla traccia. Non ho controllato la correttezza dei calcoli sulla lunghezza della curva, ma l'idea che hai seguito è ok.
Ho sbagliato hahaha. Volevo scrivere chiusa, correggo subito il messaggio grazie per avermelo fatto notare. Ieri era tardi come al solito e non me ne sono accorto.
Ok semplice l'avevo supposto giustamente, è anche regolare a tratti adesso che mi ci fai pensare essendo le funzioni (retta e $x^\alpha$) entrambe $\in C^1$ e le derivate non nulle nell'interno di $I$. Per quanto riguarda la parametrizzazione dell'intera curva avrei bisogno di una risposta. Suppongo che qualcuno con molta più esperienza di me possa trovare la soluzione che la professoressa ha pensato all'esercizio (e che non conosco). Comunque ci deve essere qualcosa che mi sta sfuggendo, mi sembra strano che neanche tu Mathita abbia proposto una parametrizzazione "globale" della curva. In ogni caso potresti dirmi come tu parametrizzeresti quel segmento con la giusta orientazione. Forse la soluzione consiste nel trovare una parametrizzazione a tratti
Per quanto riguarda la lunghezza totale, non so perché ma la soluzione che ho proposto mi convince abbastanza stranamente: quindi o è tutto sbagliato o come dici tu potrebbe veramente andar bene l'idea. In caso, aspetto la risposta di qualcun altro, magari alla fine risulta sbagliata la soluzione
P.S. Come al solito ti ringrazio per il feedback
P.S. Come al solito ti ringrazio per il feedback
Una parametrizzazione del segmento che congiunge due punti $A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B)$ con A punto iniziale e B punto finale è data da:
$s(t)=((x_B-x_A)t+x_A, (y_B-y_A) t+y_A)$
con $t\in [0,1]$ (consideri l'aperto se vuoi escludere gli estremi del segmento). Per poterla usare, devi prima dedurre (o decidere, in base alla traccia) chi svolge il ruolo di punto iniziale e finale. Nota che l'intervallo di variazione di t è fissato.
Se non ho capito male, vorresti trovare una parametrizzazione della forma $\mathbf{x}(t) =(x(t), y(t) )$ con t che varia in un intervallo I, corretto? Se è questa la tua intenzione, puoi procedere in questo modo. Sfrutti parametrizzazione che hai trovato per il grafico della funzione, per la quale t varia in $[1/2,1]$. Per quanto concerne il segmento, puoi procedere con una riparametrizzazione di quella che ti ho suggerito. Ad esempio puoi considerare la mappa biettiva $\phi:(0, 1/2)\to (0,1)$ dove $\phi(t)=2t$ e costruire la composizione $s(\phi(t))$. Questa composizione manda l'intervallo $(0,1/2)$ nel segmento orientato. Sfrutta la tua parametrizzazione per mandare l'intervallo $[1/2,1]$ nel grafico della funzione.
Con queste informazioni siamo in grado di costruire una parametrizzazione definita nell intervallo $(0,1]$. Tuttavia, non è una cosa che si fa spesso.
$s(t)=((x_B-x_A)t+x_A, (y_B-y_A) t+y_A)$
con $t\in [0,1]$ (consideri l'aperto se vuoi escludere gli estremi del segmento). Per poterla usare, devi prima dedurre (o decidere, in base alla traccia) chi svolge il ruolo di punto iniziale e finale. Nota che l'intervallo di variazione di t è fissato.
Se non ho capito male, vorresti trovare una parametrizzazione della forma $\mathbf{x}(t) =(x(t), y(t) )$ con t che varia in un intervallo I, corretto? Se è questa la tua intenzione, puoi procedere in questo modo. Sfrutti parametrizzazione che hai trovato per il grafico della funzione, per la quale t varia in $[1/2,1]$. Per quanto concerne il segmento, puoi procedere con una riparametrizzazione di quella che ti ho suggerito. Ad esempio puoi considerare la mappa biettiva $\phi:(0, 1/2)\to (0,1)$ dove $\phi(t)=2t$ e costruire la composizione $s(\phi(t))$. Questa composizione manda l'intervallo $(0,1/2)$ nel segmento orientato. Sfrutta la tua parametrizzazione per mandare l'intervallo $[1/2,1]$ nel grafico della funzione.
Con queste informazioni siamo in grado di costruire una parametrizzazione definita nell intervallo $(0,1]$. Tuttavia, non è una cosa che si fa spesso.
Allora Mathita penso di aver risolto la parametrizzazione del segmento orientato come mi hai consigliato:
Ho usato il tuo suggerimento però sono giunto alla parametrizzazione:
$[(A = (x_a = 1/2, y_a = 0)), ( B = (x_b = 1, y_b = 2/3) )]$. Peroò voglio percorrerlo nel verso "decrescente" e dunque ho ottenuto:
$\{(x(t) = x_b-t(x_b-x_a)), (y(t) = y_b-t(y_b-y_a)):}, t \in [0,1]$.
La seconda parte del tuo messaggio non mi è chiara sarò sincero, tuttavia assomiglia vagamente al procedimento per determinare se due curve sono equivalenti (ovvero trovare un diffeomorfismo $g$ che manda l'intervallo $I$della prima curva in quello $J$ della seconda....bla bla bla). Non ho capito cosa dovrei fare: tu hai definito tale applicazione $\phi [0,1/2] \to [0,1]$). Con questa applicazione (tu la chiami mappa, suppongo si equivalgano qui, so che a matematica si usano termini come mappa, atlante, fibrato...) mandi l'intervallo $I = [0,1/2]$ nell'intervallo $J = [0,1]$, che è quello cui appartiene il parametro $t$ della parametrizzazione del segmento che ho trovato all'inizio, non ne capisco il motivo tuttavia. Adesso cosa dovrei fare: devo trovare una "mappa" biettiva da $[0,1] a [1/2,1]$. La parametrizzazione della funzione la ho già, $\phi = [(x=t),(y = 1/3 (2t-1)^{3/2})]$
Non ci sto capendo più nulla RIP. Comunque se ho trovato le due parametrizzazioni e so che la curva è regolare a tratti ho terminato. Cosa intendevi con la frase "Sfrutta la tua parametrizzazione per mandare l'intervallo [12,1] nel grafico della funzione". L'ho già trovata nel primo messaggio la parametrizzazione della funzione
Ho usato il tuo suggerimento però sono giunto alla parametrizzazione:
$[(A = (x_a = 1/2, y_a = 0)), ( B = (x_b = 1, y_b = 2/3) )]$. Peroò voglio percorrerlo nel verso "decrescente" e dunque ho ottenuto:
$\{(x(t) = x_b-t(x_b-x_a)), (y(t) = y_b-t(y_b-y_a)):}, t \in [0,1]$.
La seconda parte del tuo messaggio non mi è chiara sarò sincero, tuttavia assomiglia vagamente al procedimento per determinare se due curve sono equivalenti (ovvero trovare un diffeomorfismo $g$ che manda l'intervallo $I$della prima curva in quello $J$ della seconda....bla bla bla). Non ho capito cosa dovrei fare: tu hai definito tale applicazione $\phi [0,1/2] \to [0,1]$). Con questa applicazione (tu la chiami mappa, suppongo si equivalgano qui, so che a matematica si usano termini come mappa, atlante, fibrato...) mandi l'intervallo $I = [0,1/2]$ nell'intervallo $J = [0,1]$, che è quello cui appartiene il parametro $t$ della parametrizzazione del segmento che ho trovato all'inizio, non ne capisco il motivo tuttavia. Adesso cosa dovrei fare: devo trovare una "mappa" biettiva da $[0,1] a [1/2,1]$. La parametrizzazione della funzione la ho già, $\phi = [(x=t),(y = 1/3 (2t-1)^{3/2})]$
Non ci sto capendo più nulla RIP. Comunque se ho trovato le due parametrizzazioni e so che la curva è regolare a tratti ho terminato. Cosa intendevi con la frase "Sfrutta la tua parametrizzazione per mandare l'intervallo [12,1] nel grafico della funzione". L'ho già trovata nel primo messaggio la parametrizzazione della funzione
Non ho capito se mi stai dicendo che dovrei trovare una nuova parametrizzazione della funzione? Come dovrei sfruttare la parametrizzazione del grafico della funzione.
In sintesi non ho capito qual è lo scopo del procedimento che hai illustrato: questa è la sequenza che mi hai scritto in breve:
1) sfrutta la parametrizzazione del grafico della f;
2-)Trova una applicazione che vada mandi l'intervallo $[0,1/2]$ in $[0,1]$, ovvero l'intervallo della parametrizzazione del segmento orientato
3-)Sfrutta la tua parametrizzazione per mandare l'intervallo $[12,1]$ nel grafico della funzione (?
)
P.S. Ti ringrazio per l'aiuto con la parametrizzazione del segmento ovviamente
In sintesi non ho capito qual è lo scopo del procedimento che hai illustrato: questa è la sequenza che mi hai scritto in breve:
1) sfrutta la parametrizzazione del grafico della f;
2-)Trova una applicazione che vada mandi l'intervallo $[0,1/2]$ in $[0,1]$, ovvero l'intervallo della parametrizzazione del segmento orientato
3-)Sfrutta la tua parametrizzazione per mandare l'intervallo $[12,1]$ nel grafico della funzione (?
)P.S. Ti ringrazio per l'aiuto con la parametrizzazione del segmento ovviamente
"SteezyMenchi":Dobbiamo metterci d'accordo sul significato di questa frase. Io la interpreto in questo modo: vorrei ricavare una parametrizzazione della curva chiusa del tipo $\mathbf{x}(t)$ dove $t$ varia in un intervallo $I$ (in termini informali, una sola "legge" in grado di individuare tutti i punti della curva e con t che varia in un intervallo.)
...
Il problema è che non so trovare una parametrizzazione unica...
Dal canto tuo, avevi trovato due parametrizzazioni
$\phi = [(x=t),(y = 1/3 (2t-1)^{3/2})], \phi_2 = [(x=t),(y=1/3 (2t-1))]$.Sia la prima che la seconda sono definite in $[1/2,1]$. Siccome $\phi_2$ parametrizza il segmento nel verso sbagliato, ti ho consigliato di usare una parametrizzazione diversa, ed è quello che hai fatto: hai considerato una parametrizzazione del segmento orientato per $t\in [0,1]$ che chiamo $\phi_3$.
Allo stato attuale delle cose, abbiamo ricavato che:
$\phi(t) =(t,1/3 (2t-1)^{3/2})$ con $t\in [1/2,1]$ descrive il grafico della funzione.
$\phi_3(t)=(-1/2t+1,-1/3t+1/3)$ con $t\in [0,1]$ (questa l'ho calcolata io, controlla i calcoli per piacere) descrive il segmento orientato.
La domanda che ci poniamo è: abbiamo trovato una parametrizzazione che descrive globalmente la curva chiusa? Formalmente la risposta è no: le due leggi descrivono localmente la curva.
È possibile descriverla mediante un'unica parametrizzazione? La risposta è sì: basta effettuare un cambiamento di parametro (o se vuoi, basta trovare una parametrizzazione equivalente) costruendo un opportuno diffeomorfismo e applicarlo a una delle due. Scegliamo di modificare la parametrizzazione del segmento perché è quella più easy peasy.
Siccome voglio che il parametro t vari in un intervallo, e non voglio modificare $[1/2,1]$, devo trovare un diffeomorfismo che abbia per dominio un intervallo contiguo a $[1/2,1]$ (un esempio potrebbe essere $[0,1/2]$, ma vanno benne anche $[-1,1/2], [1,3],...$) e per immagine $[0,1]$.
Se scegliamo come dominio $[0,1/2 ]$, un diffeomorfismo che fa al caso nostro è $h(t)=2t$.
Consideriamo a questo punto la composizione
$\phi_3(h(t))=(-1/2 *2t+1,-1/3*2t+1/3)=$
$=(-t+1,-2/3t+1/3)$ con $t\in [0,1/2]$
Essa manda $[0,1/2]$ nel segmento orientato.
Usiamo le parametrizzazioni per costruire la seguente
$\mathbf{x}(t) =\phi_3(h(t) ) \mbox{ se } t\in [0,1/2]; \phi(t) \mbox{ se } t\in [1/2,1]$
(scusami, qui è saltata la formattazione e non so come metterla a posto. I comandi latex che conosco conflittano con il sito) la quale è una parametrizzazione che descrive globalmente la curva dell'esercizio, sebbene sia definita per casi.
[Edit] Ribadisco comunque che questa cosa della riparametrizzazione non si fa nella pratica: è contosa e inutile, a meno che non sia espressamente richiesto dalla traccia.
Piccola parentesi: la tua parametrizzazione del segmento forse è sbagliata: https://www6b3.wolframalpha.com/Calcula ... =Animation
Avevi interpretato bene: un'unica parametrizzazione per la curva. Devo dire che la tua idea è davvero brillante: usare un diffeomorfismo solo in un caso per far sì che esso mi mandi l'intervallo che io ho scelto nell'intervallo giusto è davvero una grande idea: anche se in realtà stiamo comunque in qualche modo dividendo per casi come hai notato anche tu e quindi mi sembra di star aggirando il sistema hahah (scherzo ovviamente
).
Inoltre avevo notato che l'intervallo che avevi scelto includeva anche quello dell'esercizio e adesso ne capisco bene il motivo.
Probabilmente proporrò questo tipo di soluzione da te sviluppata alla professoressa (ovviamente dicendo che non proviene da me altrimenti sarebbe furto intellettuale )
Avevi interpretato bene: un'unica parametrizzazione per la curva. Devo dire che la tua idea è davvero brillante: usare un diffeomorfismo solo in un caso per far sì che esso mi mandi l'intervallo che io ho scelto nell'intervallo giusto è davvero una grande idea: anche se in realtà stiamo comunque in qualche modo dividendo per casi come hai notato anche tu e quindi mi sembra di star aggirando il sistema hahah (scherzo ovviamente
). Inoltre avevo notato che l'intervallo che avevi scelto includeva anche quello dell'esercizio e adesso ne capisco bene il motivo.
Probabilmente proporrò questo tipo di soluzione da te sviluppata alla professoressa (ovviamente dicendo che non proviene da me altrimenti sarebbe furto intellettuale )
"SteezyMenchi":
Piccola parentesi: la tua parametrizzazione del segmento forse è sbagliata: https://www6b3.wolframalpha.com/Calcula ... =Animation
Ora dovrebbe essere ok. (Non sono in grado di sommare due frazioni a mente: è imbarazzante!
).Avevi interpretato bene: un'unica parametrizzazione per la curva. Devo dire che la tua idea è davvero brillante: usare un diffeomorfismo solo in un caso per far sì che esso mi mandi l'intervallo che io ho scelto nell'intervallo giusto è davvero una grande idea: anche se in realtà stiamo comunque in qualche modo dividendo per casi come hai notato anche tu e quindi mi sembra di star aggirando il sistema hahah (scherzo ovviamente
È una cosa che non si fa di solito perché esistono dei teoremi che ti permettono di aggirare il problema.
Inoltre avevo notato che l'intervallo che avevi scelto includeva anche quello dell'esercizio e adesso ne capisco bene il motivo.
No, aspetta, cosa intendi?
Probabilmente proporrò questo tipo di soluzione da te sviluppata alla professoressa (ovviamente dicendo che non proviene da me altrimenti sarebbe furto intellettuale )
Macché furto intellettuale!
Piuttosto, fammi sapere cosa ne pensa.
Lascia perdere la cosa dell'intervallo era una sciocchezza.
Ti farò sapere entro qualche giorno appena riesco a parlarle.
Ti ringrazio nuovamente per il grande aiuto dato
'Preciate it a lot
Ti farò sapere entro qualche giorno appena riesco a parlarle.
Ti ringrazio nuovamente per il grande aiuto dato
'Preciate it a lot
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