Parametrizzazione circonferenza
Ciao gente, nel risolvere esercizi su integrali curvilinei mi ritrovo ad avere a che fare con circonferenze parametrizzate mediante seno e coseno.
Volevo chiedervi una cosa banale: parlando di una parametrizzazione del tipo:
x= a + cos(t)
y= b + sin(t)
In pratica se a>0, per esempio 1, vuol dire che il centro è traslato orizzontalmente di 1 giusto? Se b>0 è per esempio 1, stessa cosa sull'asse verticale verso sopra? E se invece di sin(t) o per esempio sin(2t) cosa cambia? Insomma, vorrei che qualcuno potesse schiarirmi le idee sul significato di a e b e sul significato del numero che moltiplica l'argomento se possibile, grazie, saluti e auguri a tutti di buon anno.
Volevo chiedervi una cosa banale: parlando di una parametrizzazione del tipo:
x= a + cos(t)
y= b + sin(t)
In pratica se a>0, per esempio 1, vuol dire che il centro è traslato orizzontalmente di 1 giusto? Se b>0 è per esempio 1, stessa cosa sull'asse verticale verso sopra? E se invece di sin(t) o per esempio sin(2t) cosa cambia? Insomma, vorrei che qualcuno potesse schiarirmi le idee sul significato di a e b e sul significato del numero che moltiplica l'argomento se possibile, grazie, saluti e auguri a tutti di buon anno.
Risposte
i coefficienti $a, b$ indicano il centro della circonferenza come hai ben detto. Aggiungerei una cosa altrettanto importante: capiterà spesso che il coseno ed il seno siano moltiplicati per una costante, questo fattore rappresenta il raggio dela cerchio (o gli assi dell' ellisse se i coefficienti di seno e coseno sono diversi)
Per quanto riguarda la questione dei $2t$: per aver un cerchio gli argomenti di seno e coseno dovranno essere uguali, altrimenti una coordinata va più "veloce" dell' altra.
Per quanto riguarda la questione dei $2t$: per aver un cerchio gli argomenti di seno e coseno dovranno essere uguali, altrimenti una coordinata va più "veloce" dell' altra.
Con $a$ e $b$ sì, ottieni quelle traslazioni.
Per quanto riguarda $t$, dipende dal dominio della variabile $t$. Nel senso che se $0 lt t le 2pi$ disegni un cerchio...se $0 lt t le pi$ disegni un semicerchio. Se metti come argomento $2t$ nel primo caso ottieni 2 cerchi sovrapposti, nel secondo caso ottieni un cerchio. Quindi dipende. Puoi paramentrizzare con l'argomento che vuoi, basta che se poi vuoi che esca un cerchio intero ed uno solo, definisci a dovere il dominio della variabile per ottenere ciò che vuoi.
EDIT: ups scusate, non avevo visto la risposta!
Per quanto riguarda $t$, dipende dal dominio della variabile $t$. Nel senso che se $0 lt t le 2pi$ disegni un cerchio...se $0 lt t le pi$ disegni un semicerchio. Se metti come argomento $2t$ nel primo caso ottieni 2 cerchi sovrapposti, nel secondo caso ottieni un cerchio. Quindi dipende. Puoi paramentrizzare con l'argomento che vuoi, basta che se poi vuoi che esca un cerchio intero ed uno solo, definisci a dovere il dominio della variabile per ottenere ciò che vuoi.
EDIT: ups scusate, non avevo visto la risposta!
Per capire queste cose ti conviene darne una interpretazione cinematica, cosa che tra l'altro è suggerita implictamente anche dalle risposte precedenti. Se hai una curva di equazioni parametriche
${(x=x(t)), (y=y(t)):}$
stai descrivendo l'evoluzione nel tempo del vettore posizione $vec{r}=vec{r}(t)$. Quando sommi quei due coefficienti $a, b$, passando alla curva di equazioni
${(x=a+x(t)), (y=b+y(t)):}$
in notazione vettoriale stai passando a $vec{r}=vec{r}(t)+avec{i}+bvec{j}$. Ecco perché sommare costanti alle equazioni di una curva significa, geometricamente, operare una traslazione.
Discorso analogo per il cambio di parametro: se passi dalla curva di equazioni
${(x=x(t)), (y=y(t)):}$
alla curva di equazioni
${(x=x(2t)), (y=y(2t)):}$,
prendendo le derivate rispetto al tempo ottieni che la velocità nel secondo caso è doppia rispetto al primo. Quello che stai facendo è descrivere sempre la stessa traiettoria ma percorsa a velocità doppia.
Ragionando così credo sia tutto più semplice.
${(x=x(t)), (y=y(t)):}$
stai descrivendo l'evoluzione nel tempo del vettore posizione $vec{r}=vec{r}(t)$. Quando sommi quei due coefficienti $a, b$, passando alla curva di equazioni
${(x=a+x(t)), (y=b+y(t)):}$
in notazione vettoriale stai passando a $vec{r}=vec{r}(t)+avec{i}+bvec{j}$. Ecco perché sommare costanti alle equazioni di una curva significa, geometricamente, operare una traslazione.
Discorso analogo per il cambio di parametro: se passi dalla curva di equazioni
${(x=x(t)), (y=y(t)):}$
alla curva di equazioni
${(x=x(2t)), (y=y(2t)):}$,
prendendo le derivate rispetto al tempo ottieni che la velocità nel secondo caso è doppia rispetto al primo. Quello che stai facendo è descrivere sempre la stessa traiettoria ma percorsa a velocità doppia.
Ragionando così credo sia tutto più semplice.
OK, a grandi linee dovrei esserci, grazie a voi tutti per le risposte e per il contributo che giornalmente date al forum 
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