Parametrizzazione che non compredo
Buongiorno, mi aiutereste a capire la seguente parametrizzazione di un esercizio svolto per giungere a un integraledi linea di prima specie? Vi ringrazio!
$C={(x,y,z\inRR^3|x^2+y^2<=1, y>=0, 0<=z<=y}$ si chiede di calcolare l'area della superficie laterale.
$\gamma(t)=(cost,sint), t\in[0,pi]$
Dubbio (1)
Non comprendo già la parametrizzazione in sé perché mi pare di non considerare le z (anche perché z ha una limitazione su y), inoltre da qui in poi:
$f(x,y)=y =>\int_0^pi sint|\gamma'|dt=2$
(2)Mistero del perché f(x,y)=y??
Spero mi aiutiate nei due dubbi.
Grazie
$C={(x,y,z\inRR^3|x^2+y^2<=1, y>=0, 0<=z<=y}$ si chiede di calcolare l'area della superficie laterale.
$\gamma(t)=(cost,sint), t\in[0,pi]$
Dubbio (1)
Non comprendo già la parametrizzazione in sé perché mi pare di non considerare le z (anche perché z ha una limitazione su y), inoltre da qui in poi:
$f(x,y)=y =>\int_0^pi sint|\gamma'|dt=2$
(2)Mistero del perché f(x,y)=y??
Spero mi aiutiate nei due dubbi.
Grazie
Risposte
Così come lo hai scritto è completamente privo di senso, probabilmente hai preso appunti malamente.
Ma poi $C$ è un sottoinsieme di $RR^3$ e $gamma$ una curva con sostegno in $RR^2$
Erano esattamente i miei grattacapi.
Credo di aver ricevuto risposta solo oggi leggendo la dispensa della lezione, ve la inserisco per curiosità di chi leggesse...
Credo di aver ricevuto risposta solo oggi leggendo la dispensa della lezione, ve la inserisco per curiosità di chi leggesse...
Ah ecco, mancava un pezzo. Sono contento che si sia risolto, le domande di tipo "non riesco a decifrare i miei appunti" sono le più insidiose.
In realtà speravo che, riportando il pezzo, qualcuno bravo potesse capire come fare e dalla sua spiegazione decifrare quello che non avevo capito.
Ma era un pezzo inutile
Buona serata a voi
Ma era un pezzo inutile
Buona serata a voi
Dubbio 1.
La parametrizzazione non comprende la "z" perchè la curva e' sul piano xy.
E' stato scelto cosi' per semplificare lo svolgimento. Se vuoi la "z" e' presa in considerazione, ma banalmente $z=0$.
Se proprio volessimo considerare una curva NON sul piano xy potremmo considerare $\gamma(t) = (\cos t, \sin t, \sin t), t\in [-\pi, pi]$. Sarebbe tutto piu' complicato, pero'.
Dubbio 2
Mistero del perché f(x,y)=y??
Per ogni punto di $\gamma(t)$ devi immaginare una linea "verticale", ossia parallela all'asse z, che parte da $z=0$ (ovvero dalla curva stessa) e arriva fino a una certa altezza.
Qual e' questa altezza ?
Prima la definiamo in modo generico, con $f(x,y)$, e poi la esplicitiamo con $f(x,y) = y$.
Perche' proprio y ?
Perche' e' scritto qua:
$ C={(x,y,z\inRR^3|x^2+y^2=1, y>=0, 0<=z<=y} $
z varia da 0 a y.
E' chiaro adesso ?
La parametrizzazione non comprende la "z" perchè la curva e' sul piano xy.
E' stato scelto cosi' per semplificare lo svolgimento. Se vuoi la "z" e' presa in considerazione, ma banalmente $z=0$.
Se proprio volessimo considerare una curva NON sul piano xy potremmo considerare $\gamma(t) = (\cos t, \sin t, \sin t), t\in [-\pi, pi]$. Sarebbe tutto piu' complicato, pero'.
Dubbio 2
Mistero del perché f(x,y)=y??
Per ogni punto di $\gamma(t)$ devi immaginare una linea "verticale", ossia parallela all'asse z, che parte da $z=0$ (ovvero dalla curva stessa) e arriva fino a una certa altezza.
Qual e' questa altezza ?
Prima la definiamo in modo generico, con $f(x,y)$, e poi la esplicitiamo con $f(x,y) = y$.
Perche' proprio y ?
Perche' e' scritto qua:
$ C={(x,y,z\inRR^3|x^2+y^2=1, y>=0, 0<=z<=y} $
z varia da 0 a y.
E' chiaro adesso ?
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