Parametrizzazione bordo di una superficie

[Silence1]

Buondì, sono alle prese col teorema del rotore e ho un solo dubbio: per ricavare orientazione e parametrizzazione della curva che identifica il bordo della superficie considerata, l'unica scelta è passare per considerazioni "manuali"? Mi spiego l'esempio che ho davanti:

devo calcolare il flusso del rotore di $vec(F)=xvec(i)+yvec(j)$ attraverso quello che viene descritto come "un quarto di sfera di raggio R orientato verso l'alto", e viene fornito già parametrizzato come

${ ( x=Rsinvarphicostheta ),( y=Rsinvarphisintheta ),( z=Rcosvarphi ):}$

con $varphi in [0,pi/2], theta in [-pi/2, pi/2]$

Ora, se penso a un quarto di circonferenza mi viene naturale pensare al bordo come a due semicirconferenze, una "verticale" e una "orizzontale", che ad esempio mi verrebbe da parametrizzare così:

$gamma_1: { ( x=Rcost ),( y=Rsint ),( z=0 ):} $

$gamma_2: { ( x=0 ),( y=Rcost ),( z=Rsint ):} $

$tin[-pi/2, pi/2]$ in entrambi i casi

Ma stavolta il bordo era facile. E se mi capitasse qualcosa di irregolare o senza simmetria, posso ricavarmi la parametrizzazione per vie "meccaniche" invece che da considerazioni grafiche? E riguardo l'orientazione, sia della superficie iniziale che delle mie curve, dove la trovo nelle loro espressioni? Come so che la superficie parametrizzata in quel modo è effettivamente orientata verso l'alto?

Grazie!

[Silence1]

Grazie infinite, per il tempo e per la chiarezza cristallina. Per quanto riguarda le considerazioni iniziali riguardo lo studio delle componenti e l'orientamento ci sono, ha tutto perfettamente senso. C'è solo un dubbio che mi rimane, e mi scuso per la banalità della domanda, ma...

"TeM":

il sostegno della superficie \(\mathbf{r}\) risulta essere \[ \Sigma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, \; x \ge 0, \; z \ge 0 \right\} \] e quindi il proprio bordo \(\partial \Sigma\) risulta essere l'unione di \[ \gamma_1 := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 = 1, \; x \ge 0, \; z = 0 \right\} \] e di \[ \gamma_2 := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : y^2 + z^2 = 1, \; x = 0, \; z \ge 0 \right\}.
\]

Vedo che ha senso, col grafico davanti, ma non riesco a cogliere il legame matematico tra i due passaggi. Come si "traduce" $Sigma$ nell'unione delle curve che ne definisce i bordi? Se invece di due semicirconferenze, che sono facilmente parametrizzabili, ci fossero state curve casuali, come potevo ricavarle dall'espressione della superficie? O anche qui è tutta una questione di considerazioni, specialmente se davanti a un grafico?

Ancora grazie mille.

[Silence1]

Ecco! Questo era esattamente il pezzetto mancante! Ah, che soddisfazione, grazie!

Un'ultima cosa a questo punto, visto che ho trascorso la sera con questo problema, una curiosità vorrei togliermela (spero solo non vengano fuori profanità... ): è un caso che la superficie valutata negli estremi destri degli intervalli di definizione restituisca la stessa forma delle parametrizzazioni delle due curve?

${ ( x=sinvarphicostheta ),( y=sinvarphisintheta ),( z=cosvarphi ):} $

$varphiin[0,pi/2], theta in [-pi/2, pi/2]$

$ varphi = pi/2 ->gamma_1:=(costheta, sintheta, 0)$
$ theta= pi/2 -> gamma_2:=(0, sinvarphi, cosvarphi)$

Devo dire che mi sa un po' di teoria complottistica, ma l'ho notato per caso e mi ha incuriosito. In effetti, mi pare anche di inquadrarlo concettualmente: visto che al variare di $varphi, theta$ si disegnano archi diversi ($varphi$ "alza" l'arco blu da terra fino a "farlo stare in piedi", mentre $theta$ disegna "per terra" quello rosso allungangolo fino a semicirconferenza compiuta). Valutando la superficie al limite di "apertura" massima si ottengono proprio le curve del bordo. Quale che sia la risposta, i grandi dilemmi sono comunque risolti. Grazie infinite per la pazienza!

[Silence1]

Assolutamente sì, come detto era giusto per completezza (e sfizio personale). Di nuovo, grazie infinite per tutto l'aiuto!