Parametri di una seria
Ho un piccolo atroce dubbio....quando in una serie viene richiesto es: Qual è l'insieme dei valori del parametro x reale per cui la serie
$sum_(n=1)^oo ((n^2+1)x^n)/n^3$
è convergente?
Sarà sicuramente una serie di valori che vanno da ... a, ma come faccio a determinarli?
Stessa cosa quando mi ritrovo davanti ad un integrale improprio del tipo:
$int_(1)^oo (1-e^(1/x))/x^alpha$
quali sono i parametri alpha per cui l'integrale è convergente
$sum_(n=1)^oo ((n^2+1)x^n)/n^3$
è convergente?
Sarà sicuramente una serie di valori che vanno da ... a, ma come faccio a determinarli?
Stessa cosa quando mi ritrovo davanti ad un integrale improprio del tipo:
$int_(1)^oo (1-e^(1/x))/x^alpha$
quali sono i parametri alpha per cui l'integrale è convergente
Risposte
Devi studiare la convergenza della serie trattando $x$ come parametro reale; in realtà la serie che ti è data è una serie di potenze, e per esse c'è un Teorema che afferma come trovare immediatamente l'intervallo di convergenza.
Essendo una serie di potenze, il parametro reale deve rientrare nell'insieme del raggio di convergenza se non sbaglio che lo trovo facendo
$lim_(n->oo)sqrt a_{n}& radice ennesima e $a_{n}$ in valore assoluto
Questo mi da come risultato 1
Quindi per convergere il parametro reale x deve essere <1
E quindi la x può appartenere a R purchè sia minore di 1?
$lim_(n->oo)sqrt a_{n}& radice ennesima e $a_{n}$ in valore assoluto
Questo mi da come risultato 1
Quindi per convergere il parametro reale x deve essere <1
E quindi la x può appartenere a R purchè sia minore di 1?
Si dovrebbe essere corretto, |x-x0| 0<=|x|<1
Sì, è corretto; hai convergenza assoluta in $(-1,1)$. Potresti avere convergenza anche agli estremi; questo va verificato direttamente.
In ogni serie di potenze quindi va trovato il raggio di convergenza che mi determina anke l'intervallo di convergenza dei parametri giusto?
quindi la soluzione è ad ogni x appartenente a $-1<=x<1$
E per verificarlo come devo fare?sostituire gli estremi dell'intervallo al parametro e studiare la convergenza?
E nel caso dell'integrale?(vuoto totale)
quindi la soluzione è ad ogni x appartenente a $-1<=x<1$
E per verificarlo come devo fare?sostituire gli estremi dell'intervallo al parametro e studiare la convergenza?
E nel caso dell'integrale?(vuoto totale)
Risp. al primo e al secondo quesito:
No, l'intervallo di convergenza NON è -1<=x<1, ma è -1
No, l'intervallo di convergenza NON è -1<=x<1, ma è -1
Magari mi sbaglio, ma a me risulta convergente pure in -1
Si può essere, non l'ho fatto, ma può esserlo benissimo........io ho scritto -1
La mia era solo la codizione in cui ti trovi dopo aver utilizzato la tecnica della radice.
La mia era solo la codizione in cui ti trovi dopo aver utilizzato la tecnica della radice.
A ok infatti mi veniva convergente
E per l'integrale che devo fare?!?
io so che l'integrale
$int_(0)^oo 1/x^alpha$
converge se $alpha$ è >1
Ma in questo caso dovrò architettarmi qualcosa visto ke c'è l'esponenziale....](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
E per l'integrale che devo fare?!?
io so che l'integrale
$int_(0)^oo 1/x^alpha$
converge se $alpha$ è >1
Ma in questo caso dovrò architettarmi qualcosa visto ke c'è l'esponenziale....
Suggerimento: ricorda che $e^t-1$ è asintotico a $t$ per $t -> 0$.
Grazie del suggerimento...ma guarda se lo interpreto nel modo corretto:
Posso
$int_(1)^1-(e^(1/x)-1)/x^alpha$
$int_(1)^oo-(1/x)/x^alpha$
$int_(1)^oo-1/x^(alpha+1)$
E quindi $alpha$ per convergere dovrà essere >1
Quindi $alpha+1>1$ $alpha>0$ ?
Posso
$int_(1)^1-(e^(1/x)-1)/x^alpha$
$int_(1)^oo-(1/x)/x^alpha$
$int_(1)^oo-1/x^(alpha+1)$
E quindi $alpha$ per convergere dovrà essere >1
Quindi $alpha+1>1$ $alpha>0$ ?
Il primo integrale è tra $1$ e $\infty$; il resto è corretto.
ok....e un'altro quesito....
Questa ad es:
$sum_(n=2)^oo(1+e^(-n))/(sqrt(n^alpha)+logn)$
Anche qui il raggio di convergenza è =1
Quindi per convergere $alpha$ dev'essere <1 ?
Non può essere secondo me.....troppo facile
Questa ad es:
$sum_(n=2)^oo(1+e^(-n))/(sqrt(n^alpha)+logn)$
Anche qui il raggio di convergenza è =1
Quindi per convergere $alpha$ dev'essere <1 ?
Non può essere secondo me.....troppo facile
Io ho fatto un ragionamento che molto probabilmente è sbagliato
siccome $e^(-n) -> 0$ quando $n->oo$ lo tralascio e considero solamente
$sum_(i=2)^oo(1)/(sqrt(n^alpha)+logn)$
Poi faccio un confronto tra la sommatoria sopra e una più piccola cioè
$sum_(i=2)^oo(1)/(sqrt(n^alpha))$
Quest'ultima se converge implica la convergenza pure alla serie iniziale, ed essa converge quando $alpha/2>1$
Convergerà pertanto ad $alpha>2$ ?
siccome $e^(-n) -> 0$ quando $n->oo$ lo tralascio e considero solamente
$sum_(i=2)^oo(1)/(sqrt(n^alpha)+logn)$
Poi faccio un confronto tra la sommatoria sopra e una più piccola cioè
$sum_(i=2)^oo(1)/(sqrt(n^alpha))$
Quest'ultima se converge implica la convergenza pure alla serie iniziale, ed essa converge quando $alpha/2>1$
Convergerà pertanto ad $alpha>2$ ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo