Parallelepipedo inscritto in ellissoide
Ciao, amici!
Sto cercando di calcolare il volume massimo di un parallelepipedo inscritto nell'ellissoide di equazione $9x^2+36y^2+4z^2=36$. Chiamando $(x,y,z)$ le coordinate positive di uno degli 8 vertici del parallelepipedo, che avrà quindi gli spigoli di lunghezza $2x$, $2y$ e $2z$, chiamo il volume $V(x,y,z)=8xyz$ e, osservando che il volume del parallelepipedo non ha minimo perché se ne possono avvicinare arbitrariamente due facce, calcolo gli estremi di $V(x,y,z)$, che non possono che essere quindi massimi, con il vincolo $g(x,y,z)=9x^2+36y^2+4z^2-36=0$ (di gradiente positivo con coordinate positive) ponendo uguale a 0 il gradiente della lagrangiana $\Lambda(x,y,z,\lambda)=V(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)$ , quindi direi che
$(\partial V)/(\partialx)-\lambda(\partial g)/(\partialx)=0 <=> 8yz=18\lambda x$
$(\partial V)/(\partialy)-\lambda(\partial g)/(\partialy)=0 <=> 8xz=72\lambda y$
$(\partial V)/(\partialz)-\lambda(\partial g)/(\partialz)=0 <=> 8xy=8\lambda z$
Moltiplicando la prima equazione del sistema per $x$, la seconda per $y$ e la terza per $z$ e dividendo per $\lambda$ (diverso da 0, altrimenti due degli spigoli sarebbero nulli) mi pare di avere che
$8(xyz) /(\lambda)=18x^2=72y^2=8z^2$ da cui $z^2=9y^2=9/4x^2$ e, sostituendo in $g(x,y,z)$
$9* 4/9z^2+36/9z^2+4z^2=36$ da cui $z=sqrt(3)$ e $V=8xyz=8*2/3z*z/3*z=(16sqrt(3))/3$ mentre il libro dà $V=2/sqrt(3)$, cioè $1/8$ del mio...
Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Sto cercando di calcolare il volume massimo di un parallelepipedo inscritto nell'ellissoide di equazione $9x^2+36y^2+4z^2=36$. Chiamando $(x,y,z)$ le coordinate positive di uno degli 8 vertici del parallelepipedo, che avrà quindi gli spigoli di lunghezza $2x$, $2y$ e $2z$, chiamo il volume $V(x,y,z)=8xyz$ e, osservando che il volume del parallelepipedo non ha minimo perché se ne possono avvicinare arbitrariamente due facce, calcolo gli estremi di $V(x,y,z)$, che non possono che essere quindi massimi, con il vincolo $g(x,y,z)=9x^2+36y^2+4z^2-36=0$ (di gradiente positivo con coordinate positive) ponendo uguale a 0 il gradiente della lagrangiana $\Lambda(x,y,z,\lambda)=V(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)$ , quindi direi che
$(\partial V)/(\partialx)-\lambda(\partial g)/(\partialx)=0 <=> 8yz=18\lambda x$
$(\partial V)/(\partialy)-\lambda(\partial g)/(\partialy)=0 <=> 8xz=72\lambda y$
$(\partial V)/(\partialz)-\lambda(\partial g)/(\partialz)=0 <=> 8xy=8\lambda z$
Moltiplicando la prima equazione del sistema per $x$, la seconda per $y$ e la terza per $z$ e dividendo per $\lambda$ (diverso da 0, altrimenti due degli spigoli sarebbero nulli) mi pare di avere che
$8(xyz) /(\lambda)=18x^2=72y^2=8z^2$ da cui $z^2=9y^2=9/4x^2$ e, sostituendo in $g(x,y,z)$
$9* 4/9z^2+36/9z^2+4z^2=36$ da cui $z=sqrt(3)$ e $V=8xyz=8*2/3z*z/3*z=(16sqrt(3))/3$ mentre il libro dà $V=2/sqrt(3)$, cioè $1/8$ del mio...
Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Risposte
La tua risposta è giusta.
$(8)/(\sqrt3)$ è il volume massimo di un cubo inscritto in una sfera di raggio unitario (intuitivo da determinare).
Puoi verificare il tuo risultato dal fatto che l'elissoide ha semiassi $1,2,3$ quindi ha volume 6 volte la sfera unitaria e anche il parallelepipedo con volume massimo è 6 volte il cubo della sfera unitaria quindi $6 (8)/(\sqrt3) = (16)/(\sqrt3) $.
$(8)/(\sqrt3)$ è il volume massimo di un cubo inscritto in una sfera di raggio unitario (intuitivo da determinare).
Puoi verificare il tuo risultato dal fatto che l'elissoide ha semiassi $1,2,3$ quindi ha volume 6 volte la sfera unitaria e anche il parallelepipedo con volume massimo è 6 volte il cubo della sfera unitaria quindi $6 (8)/(\sqrt3) = (16)/(\sqrt3) $.
Grazie di cuore, Quinzio!!! Sai quanto mi sono scervellato tutta la mattina su questo problema? ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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