Paradosso

[Silente]

Facendo degli esercizi mi è capitato di applicare un ragionamento in una dimostrazione, che guardandolo bene, mi sembra paradossale.

Lo riduco all'osso.

Prendiamo un numero reale \(\displaystyle a>0 \).

Allora \(\displaystyle b = a+ \epsilon > a \), per ogni \(\displaystyle 0< \epsilon <1 \).

\(\displaystyle b^2 = (a+ \epsilon )^2 = (a^2 + 2 a \epsilon +\epsilon ^2) < a^2 + 2 a \epsilon + \epsilon \)

\(\displaystyle b^2 < a^2 + \epsilon (2a+1) = a^2 + \delta \)

per ogni \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle 0< \delta < 2a+1 \).

Siccome quindi \(\displaystyle \delta \) è piccolo a piacere e deve valere sempre che \(\displaystyle b^2
\(\displaystyle b^2 \leq a^2 \)

equivalente a \(\displaystyle b \leq a \), in contraddizione con \(\displaystyle b> a \).

Dove sbaglio?

[anto_zoolander]

$3<2,5+1$ ma non puoi concludere che sia $3<2,5$, per dire.

[Silente]

Non l'ho capita, scusami, mi spieghi meglio?

[otta96]

"Ianero":per ogni \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle 0< \delta < 2a+1 \).

Secondo me è qui che sbagli, da dove esce il per ogni? In realtà te sai solo che ne esiste uno (di $\delta$ in quel modo).

[Silente]

Il per ogni viene da \(\displaystyle \epsilon \), all'inizio del discorso.
Se \(\displaystyle b=a+ \epsilon > a \) per ogni \(\displaystyle 0<\epsilon <1 \), allora quel "per ogni" si scarica anche sul \(\displaystyle \delta \).

[vict85]

Ma \(b\) dipende da \(\epsilon\), se cambi l'uno cambia l'altro.

[Raptorista1]

Quello che tu scrivi in maniera complicata è \(b^2 < b^2 -\varepsilon^2 + \varepsilon\), che è vero per ogni \(0<\varepsilon<1\), ma non per \(\varepsilon=0\), che è il tuo passaggio finale. Quando fai la prima maggiorazione la fai stretta, senza l'uguale, ed è lì che tagli fuori il caso \(\varepsilon=0\); se la facessi con anche l'uguale arriveresti alla fine ad ottenere che \(a=b\) per \(\varepsilon=0\).

[Silente]

"vict85":Ma b dipende da ϵ, se cambi l'uno cambia l'altro.

E' vero, certo, ma perchè questo inficia il ragionamento?

\( \displaystyle b( \epsilon ) > a \) comunque prendo \(\displaystyle \epsilon \) nel suo intervallo (0,1).

\( \displaystyle b^2(\epsilon ) < a^2 + \epsilon (2a+1) \) sempre per ogni \(\displaystyle \epsilon \) in (0,1).

Fin qui direi che ci troviamo tutti.

Ora dove sta l'errore nel dire che, comunque si muova \(\displaystyle \epsilon \) in (0,1), poiché \(\displaystyle b^2(\epsilon ) \) è sempre minore stretto di \(\displaystyle a^2 + \epsilon (2a+1) \) allora per forza deve essere che:

\( \displaystyle b^2(\epsilon ) \leq a^2 \)



Evidentemente l'errore sta per forza qui, ma ancora non riesco a vederlo bene.

Inoltre:

"Raptorista":è vero per ogni 0<ε<1, ma non per ε=0, che è il tuo passaggio finale.

non capisco perchè l'ultimo passaggio che ho appena riportato significhi che io stia mettendo \(\displaystyle \epsilon = 0 \), a me non sembra.


Comunque grazie a tutti per la disponibilità.

[Silente]

Ci sono arrivato, con un bel pò di ritardo, ma ci sono arrivato.
Grazie.