Palla e insieme aperto
Data la definizione di palla:
"In uno spazio metrico $ (X,d) $ , dato $ x0in X $ e $ r> 0 $ , definisco palla di centro x0 e raggio r l'insieme
$ B (x0, r)={x in X: d(x0, x)< r} $ "
E data la definizione di aperto:
"Sia uno spazio metrico (X, d). Un insieme $ Asube X $ si dice aperto se $ AA x0in A $ esiste una palla $ B (x0, r)sube A $ "
Ho dei dubbi circa quest'ultima. In particolare, se prendo X in R, A=X=[0, 1] (intervallo CHIUSO), con distanza d (x, y)=|x-y|, per la definizione di aperto data poco sopra, questo dovrebbe essere aperto.
Infatti, se scelgo ad esempio r=1/2, per ogni x0 nell'insieme riesco a trovare una palla.
Se x0=1/2, la palla è formata da tutti quegli elementi x tali che |1/2-x|<1/2. Questo è un insieme non vuoto, ad esempio 1/3 vi appartiene.
Se x0=0, allora la palla sarà formata da tutti quegli elementi x tali che |0-x|<1/2. Di nuovo, riesco a trovare almeno un elemento: 1/3 appartiene anche a questo insieme.
Infine, provo a scegliere x0=1. La palla è formata da tutti quegli elementi tali che |1-x|<1/2. Stavolta, trovo 2/3.
L'insieme considerato, quindi, è definibile aperto? (dubito). Cosa sbaglio nell'interpretazione della definizione?
"In uno spazio metrico $ (X,d) $ , dato $ x0in X $ e $ r> 0 $ , definisco palla di centro x0 e raggio r l'insieme
$ B (x0, r)={x in X: d(x0, x)< r} $ "
E data la definizione di aperto:
"Sia uno spazio metrico (X, d). Un insieme $ Asube X $ si dice aperto se $ AA x0in A $ esiste una palla $ B (x0, r)sube A $ "
Ho dei dubbi circa quest'ultima. In particolare, se prendo X in R, A=X=[0, 1] (intervallo CHIUSO), con distanza d (x, y)=|x-y|, per la definizione di aperto data poco sopra, questo dovrebbe essere aperto.
Infatti, se scelgo ad esempio r=1/2, per ogni x0 nell'insieme riesco a trovare una palla.
Se x0=1/2, la palla è formata da tutti quegli elementi x tali che |1/2-x|<1/2. Questo è un insieme non vuoto, ad esempio 1/3 vi appartiene.
Se x0=0, allora la palla sarà formata da tutti quegli elementi x tali che |0-x|<1/2. Di nuovo, riesco a trovare almeno un elemento: 1/3 appartiene anche a questo insieme.
Infine, provo a scegliere x0=1. La palla è formata da tutti quegli elementi tali che |1-x|<1/2. Stavolta, trovo 2/3.
L'insieme considerato, quindi, è definibile aperto? (dubito). Cosa sbaglio nell'interpretazione della definizione?
Risposte
Non è vero che per ogni \( x\in\left[0,1\right] \) puoi trovare una palla \( B(x,\rho) \), per qualche raggio \( \rho>0 \), che sta tutta in quell'intervallo. Prendi ad esempio \( x = 0 \): hai necessariamente degli elementi \( 0 - \rho < y < 0 \) nella palla, e questo è male (perché la negazione di \( A\subset B \) è "c'è almeno un \( a\in A \) che non appartiene a \( B \)"). \( \square \)
Ora però prova in dimensione \( n \).
Ora però prova in dimensione \( n \).
Quello che sbagli è confondere essere incluso con non essere disgiunto.
"marco2132k":
Non è vero che per ogni \( x\in\left[0,1\right] \) puoi trovare una palla \( B(x,\rho) \), per qualche raggio \( \rho>0 \), che sta tutta in quell'intervallo. Prendi ad esempio \( x = 0 \): hai necessariamente degli elementi \( 0 - \rho < y < 0 \) nella palla, e questo è male (perché la negazione di \( A\subset B \) è "c'è almeno un \( a\in A \) che non appartiene a \( B \)"). \( \square \)
Ora però prova in dimensione \( n \).
Non capisco: nell'esempio considerato, prendendo come centro x=0, perché dovrei avere degli elementi negativi nella palla? Stando alla definizione, nella palla vi sono SOLTANTO gli elementi appartententi ad X. E poiché nell'insieme X da me scelto (ovvero X=[0,1]) non vi sono elementi negativi, allora nel momento in cui considero la palla con centro x=0, in questa non possono esservi elementi negativi per definizione. La palla è sempre contenuta in X per definizione, in quanto ogni elemento della palla appartiene ad X.
"otta96":
Quello che sbagli è confondere essere incluso con non essere disgiunto.
Ovvero? Potresti spiegarmi cosa intendi, magari citando anche i passaggi sbagliati?
Rileggendo meglio ho visto che hai preso $X=[0,1]$, prima pensavo avessi preso $X=RR$, in questo caso non c'è problema, in effetti ogni spazio metrico è un insieme aperto in sé stesso. Nota che ho specificato in sé stesso, cioè lo stesso insieme in spazi metrici diversi può essere aperto in alcuni ma non in altri, e $[0,1]$ ad esempio non è aperto in $RR$.
Però la tua dimostrazione non va bene perché non hai colto cosa devi dimostrare, cioè che ogni elemento di $B(x,r)$ sta in $A$, che in questo caso è tutto $X$, quindi è ovvio. Ma quando dicevi che $1/3\inB(1/2,1/2)$, cosa te ne importava? Per fare vedere che la palla era non vuota? Non è una cosa richiesta da nessuna parte e inoltre se ci pensi ogni palla è non vuota perché ci sta il suo centro (non è detto che ci sia qualcos'altro).
Però la tua dimostrazione non va bene perché non hai colto cosa devi dimostrare, cioè che ogni elemento di $B(x,r)$ sta in $A$, che in questo caso è tutto $X$, quindi è ovvio. Ma quando dicevi che $1/3\inB(1/2,1/2)$, cosa te ne importava? Per fare vedere che la palla era non vuota? Non è una cosa richiesta da nessuna parte e inoltre se ci pensi ogni palla è non vuota perché ci sta il suo centro (non è detto che ci sia qualcos'altro).
@otta96 Però @voskaby dice
"voskaby":Cioè l'insieme che bisogna dire aperto o chiuso è \( X = \left[0,1\right] \) "in R" (che penso proprio sia la retta). Cioè hai ragione qui:
Ho dei dubbi circa quest'ultima. In particolare, se prendo X in R, A=X=[0, 1] (intervallo CHIUSO), con [...]
"otta96":
Quello che sbagli è confondere essere incluso con non essere disgiunto.
Ma lui dice anche $X=[0,1]$.
Come vedi, voskaby dal tuo messaggio sembrava (non solo a me) che stessi intendendo aperti in $RR$, dicci tu cosa intendevi.
Come vedi, voskaby dal tuo messaggio sembrava (non solo a me) che stessi intendendo aperti in $RR$, dicci tu cosa intendevi.
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