Pacman

[giocind_88]

Buonasera . Scusatemi, sul materiale di studio ad un certo punto viene menzionato "Pacman" però, se si tratta di un teorema, non ne viene espresso l'enunciato nè in quella parte del materiale, nè prima, nè dopo . Ho provato a cercare ma non ho trovato nulla . Qualcuno molto gentilmente potrebbe delucidarmi di che cosa si tratta ?
Vi ringrazio tantissimo .

[gugo82]

Sul materiale di che?

Puoi riportare il passaggio?

[giocind_88]

Materiale di studio di analisi . Si tratta di un esercizio di un integrale curvilineo e affianco c'è scritto Pacman e poi si passa allo svolgimento, considerando la frontiera di un dominio particolare, sostanzialmente formata da due circonferenze, una più grande e una più piccola facendo in modo di scartare il punto z = 0 che (come scritto sul materiale) è un punto di diramazione, anche se fino a questo momento non ho mai trovato tale "definizione" ossia "punto di diramazione" .
Grazie tantissime.

[gugo82]

Quale integrale devi calcolare?
Facciamo prima...


P.S.: Di solito il Pacman è un cerchio dal quale viene rimosso un settore di ampiezza "piccola".

[giocind_88]

Integrale tra 0 e infinito della frazione con numeratore: x elevato alla r-1 e denominatore: x+1. Ah ok, non ho mai incontrato tale "definizione" e quindi non ne sapevo il significato . Chiedo scusa, perchè è stato scritto che z = 0 è un punto di diramazione? C'entra con la precisa funzione data o è una cosa generale, collegata a qualche riferimento teorico?
Grazie tantissime.

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Se vuoi continuare la conversazione ti esorto ad inserire il testo matematico come si conviene.[/xdom]

[giocind_88]

Chiedo scusa.
Ho allegato l'esercizio.
Grazie tantissime.

[giocind_88]

Chiedo scusa, non si visualizza. In serata, appena mi è possibile, cerco di scrivere bene la traccia.
Ancora grazie.

[giocind_88]

Buonasera.
Si tratta di:
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{r-1}}{x+1}\ \text{d}x\; .
\]
Grazie mille.

[gugo82]

Allora, a quanto ho capito vuoi calcolare con tecniche di Analisi Complessa (leggi: Teoria dei Residui) l'integrale reale:
\[
\int_0^{+\infty} \frac{x^{r-1}}{x+1}\ \text{d} x\; ,
\]
con $r\in \RR$ (suppongo...).

La funzione $f(x;r) := \frac{x^{r-1}}{x+1}$ è positiva in $]0,+\infty[$ ed è sommabile in $+\infty$ solo se $r-1<0$, cioè se $r<1$, e sommabile in $0$ solo se $1-r<1$, cioè se $r>0$; dunque il tuo integrale esiste finito se e solo se $0
Per il calcolo dell'integrale conviene scegliere la funzione complessa ausiliaria:
\[
f(z;r) := \frac{z^{r-1}}{z+1}\; ;
\]
dato che nelle ipotesi fatte su $r$ risulta $-1 Il contorno di integrazione da scegliere per calcolare l'integrale è quello costituito dal bordo della corona circolare di raggi \(0<\varepsilon \ll 1 \ll R\) tagliata lungo il semiasse reale positivo: tale contorno è quello costituito dalle curve:

[list=1][*:1zz80u0f] $+\Gamma(0;R)$, circonferenza di centro $0$ e raggio $R$ orientata in verso antiorario;

[/*:m:1zz80u0f]
[*:1zz80u0f] $-s$, segmento del semiasse reale positivo di estremi $\epsilon$ ed $R$ orientato da $R$ ad $\epsilon$ (bordo inferiore del taglio);

[/*:m:1zz80u0f]
[*:1zz80u0f] $-\gamma(0;\epsilon)$, circonferenza di centro $0$ e raggio $\epsilon$ orientata in senso orario;

[/*:m:1zz80u0f]
[*:1zz80u0f] $+\sigma$, segmento come sopra ma percorso da $\epsilon$ ad $R$ (bordo superiore del taglio).[/*:m:1zz80u0f][/list:o:1zz80u0f]

Detto $\Omega=\Omega(\epsilon , R)$ l'aperto delimitato dal contorno di cui sopra, la restrizione di $f(\cdot ;r)$ ad $\Omega$ è univoca ed olomorfa in $\Omega\setminus\{-1\}$; pertanto il Primo Teorema dei Residui garantisce che:
\[
\begin{split}
I(\varepsilon, R) &:= \int_{+\partial \Omega (\varepsilon, R)} f(z;r)\ \text{d} z\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \operatorname{Res}\left[ f(\cdot ;r), -1\right]\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \lim_{z\to -1} \frac{z^{r-1}}{z+1}\cdot (z+1)\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ (-1)^{r-1}
\end{split}
\]
in cui $(-1)^{r-1}$ è da intendersi come la determinazione in $-1$ della potenza $z^{r-1}$ che usiamo in $\Omega$ per individuare il valore di $f(z;r)$; scegliendo la determinazione della potenza corrispondente agli argomenti $\theta \in ]0,2\pi[$, ossia:
\[
z^{r-1} = \mathbf{e}^{(r-1)\big( \log |z| + \mathbf{i}\ \operatorname{arg}(z)\big)}\qquad \text{con } \operatorname{arg}(z)\in ]0,2\pi[
\]
(il che vuol dire che consideriamo -per continuità- \(\operatorname{arg}(z) = 0\) per $z\in \sigma$ e \(\operatorname{arg}(z) =2\pi\) per $z\in s$), troviamo:
\[
(-1)^{r-1} = \mathbf{e}^{\pi (r-1)\ \mathbf{i}}\; ,
\]
cosicché risulta:
\[
I(\varepsilon , R) = 2\pi\ \mathbf{i}\ \mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}}
\]
per ogni \(0<\varepsilon \ll 1\ll R\) e perciò:
\[
\tag{1}
\lim_{\varepsilon \to 0^+, R\to +\infty} I(\varepsilon , R) = 2\pi\ \mathbf{i}\ \mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}}\; .
\]

D'altra parte, sfruttando la definizione e le proprietà dell'integrale complesso otteniamo:
\[
\begin{split}
I(\varepsilon , R) &= \left( \int_{\Gamma(0;R)} - \int_s - \int_{\gamma (0;\epsilon)} + \int_\sigma \right) \frac{z^{r-1}}{z+1}\ \text{d} z\\
&= \int_{\Gamma(0;R)} \frac{z^{r-1}}{z+1}\ \text{d} z - \int_\varepsilon^R \frac{\mathbf{e}^{(r-1) (\log |x| + 2\pi\ \mathbf{i})}}{x+1}\ \text{d} x - \int_{\gamma (0;\epsilon)} \frac{z^{r-1}}{z+1}\ \text{d} z + \int_\varepsilon^R \frac{\mathbf{e}^{(r-1) (\log|x| + 0\ \mathbf{i}) }}{x+1}\ \text{d} x\\
&= \int_{\Gamma(0;R)} \frac{z^{r-1}}{z+1}\ \text{d} z - \int_\varepsilon^R \frac{x^{r-1}\ \mathbf{e}^{2\pi (r-1)\ \mathbf{i} }}{x+1}\ \text{d} x - \int_{\gamma (0;\epsilon)} \frac{z^{r-1}}{z+1}\ \text{d} z + \int_\varepsilon^R \frac{x^{r-1}}{x+1}\ \text{d} x\\
&= \left( 1 - \mathbf{e}^{2\pi(r-1)\ \mathbf{i}}\right)\ \underbrace{\int_\varepsilon^R f(x;r)\ \text{d} x}_{=:I^\prime (\varepsilon, R)} + \underbrace{\int_{\Gamma(0;R)} \frac{z^{r-1}}{z+1}\ \text{d} z}_{=:J^\prime (R)} - \underbrace{\int_{\gamma (0;\epsilon)} \frac{z^{r-1}}{z+1}\ \text{d} z}_{=:J^{\prime \prime} (\varepsilon)}\; ,
\end{split}
\]
quindi:
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+, R\to +\infty} I(\varepsilon , R) = \left( 1 - \mathbf{e}^{2\pi(r-1)\ \mathbf{i}}\right)\ \lim_{\varepsilon \to 0^+, R\to +\infty} I^\prime (\varepsilon , R) + \lim_{R\to +\infty} J^\prime (R) - \lim_{\varepsilon \to 0^+} J^{\prime\prime} (\varepsilon)\; .
\]
Si vede facilmente che:
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+, R\to +\infty} I^\prime (\varepsilon , R) = \int_0^{+\infty} f(x;r)\ \text{d}x
\]
mentre per valutare i due limiti \(\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+} J^{\prime\prime} (\varepsilon)\) e \(\displaystyle \lim_{R\to +\infty} J^\prime (R)\) bisogna usare i Lemmi di Jordan: dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z;r) &= \lim_{|z|\to 0^+} \frac{z^r}{z+1} = 0\\
\lim_{|z|\to +\infty} z\ f(z;r) &= \lim_{|z|\to +\infty} \frac{z^r}{z+1} = 0
\end{split}
\]
uniformemente rispetto ad \(\operatorname{arg}(z)\), i lemmi assicurano che:
\[
\begin{split}
\lim_{\varepsilon \to 0^+} J^{\prime\prime} (\varepsilon) &= 2\pi\ \mathbf{i}\ \lim_{|z|\to 0^+} z\ f(z;r) =0\\
\lim_{R\to +\infty} J^\prime (R) &= 2\pi\ \mathbf{i}\ \lim_{|z|\to +\infty} z\ f(z;r) =0\; ;
\end{split}
\]
e perciò otteniamo anche:
\[
\tag{2}
\lim_{\varepsilon \to 0^+, R\to +\infty} I(\varepsilon , R) = \left( 1 - \mathbf{e}^{2\pi(r-1)\ \mathbf{i}}\right)\ \int_0^{+\infty} f(x;r)\ \text{d} x\; .
\]
Confrontando (1) e (2) ricaviamo che:
\[
\left( 1 - \mathbf{e}^{2\pi(r-1)\ \mathbf{i}}\right)\ \int_0^{+\infty} f(x;r)\ \text{d} x = 2\pi\ \mathbf{i}\ \mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}}
\]
ossia il valore dell'integrale che ci interessava:
\[
\tag{3}
\int_0^{+\infty} f(x;r)\ \text{d} x = \frac{2\pi\ \mathbf{i}\ \mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}}}{1 - \mathbf{e}^{2\pi(r-1)\ \mathbf{i}}}\; .
\]

Ovviamente, dato che l'integrale da calcolare è reale, ci aspettiamo che il secondo membro della (3) sia un numero reale; quindi dobbiamo usare un po' di algebra per semplificare: abbiamo:
\[
\begin{split}
\frac{2\pi\ \mathbf{i}\ \mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}}}{1 - \mathbf{e}^{2\pi(r-1)\ \mathbf{i}}} &= \frac{2\pi\ \mathbf{i}}{\mathbf{e}^{-\pi(r-1)\ \mathbf{i}}\left( 1 - \mathbf{e}^{2\pi(r-1)\ \mathbf{i}}\right)}\\
&= \frac{2\pi\ \mathbf{i}}{- \mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}} + \mathbf{e}^{-\pi(r-1)\ \mathbf{i}}}\\
&= \frac{-\pi}{\underbrace{\frac{\mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}} - \mathbf{e}^{-\pi(r-1)\ \mathbf{i}}}{2\mathbf{i}}}_{=\operatorname{Im} (\mathbf{e}^{\pi(r-1)\ \mathbf{i}})}}\\
&= \frac{-\pi}{\sin\big( \pi(r-1)\big)}\\
&= \frac{\pi}{\sin(\pi r)}\; ,
\end{split}
\]
quindi:
\[
\tag{4}
\int_0^{+\infty} f(x;r)\ \text{d} x = \frac{\pi}{\sin(\pi r)}
\]
è il risultato dell'integrale.

[giocind_88]

Grazie grazie grazie grazie ^_^.
Chiedo scusa, ho alcuni dubbi :

Come si fa a capire quando utilizzare un contorno come da Lei scritto? (è per me il primo esercizio in cui vedo un contorno di tale genere e quindi una mia perplessità è: quando devo utilizzare un tale contorno ?)

Perchè 0 è punto di diramazione? (non ho mai incontrato tale definizione quindi non saprei di cosa si tratta)

Al posto dei lemmi di Jordan, si può dimostrare che i due integrali valgono 0 utilizzando la rappresentazione parametrica della circonferenza (rispettivamente della circonferenza con raggio $\epsilon$ e di quella con raggio R)?

Grazie immensamente.

[giocind_88]

Buonasera, Andando avanti con lo studio ho trovato una sorta di definizione di un punto di diramazione. Se ho capito bene, si parla di punto di diramazione nel caso della funzione potenza non intera analizzata sopra in quanto la funzione potenza non intera (così come la funzione logaritmo) è una funzione polidroma.
Chiedo scusa, il mio dubbio è: perchè nel caso della nostra funzione potenza non intera sopra analizzata diciamo che 0 è punto di diramazione? Cioè nel punto 0 la funzione non esiste?
Grazie immensamente