Ottimizzazione vincolata, vincolo unione di vincoli

[Cuppls1]

Salve a tutti!
Devo calcolare $f(A)$ dove $f(x,y,z)=x+y+z)$ e $ A={x^2+y^2+z^2=4}uu{sqrt(x^2+y^2)=z+2} $
osservo che $f$ non ha estremi liberi, quindi devo solo calcolare gli estremi sul vincolo. Ho proceduto risolvendo i 2 sistemi:
$gradf=lambda_1 gradg_1$ con $g_1 =x^2+y^2+z^2-4$ e $ z>=0$
$gradf=lambda_2 gradg_2$ con $g_2=sqrt(x^2+y^2)-z-2 $ e $ z<0$
dal primo trovo $(+-2/sqrt3,+-2/sqrt3,+-2/sqrt3)$ mentre dal secondo $(0,0,-2)$ .
Vedo che la soluzione $(-2/sqrt3,-2/sqrt3,-2/sqrt3)$ non rispetta i vincoli non essendo mai $z<-2$ e in ogni caso è stata ricavata dal vincolo in cui $z>=0$
Infine $f(A)= [f(0,0,-2),f(2/sqrt3,2/sqrt3,2/sqrt3)]=[-2,6/sqrt3]$
Vorrei sapere se il ragionamento è giusoo e possibilmente se la soluzione del secondo sistema è corretta .

[Rigel1]

Così a occhio la funzione è illimitata superiormente sul cono (il secondo insieme dell'unione); si dovrebbe quindi avere \(\sup f(A) = +\infty\).

[Cuppls1]

Innanzitutto ti ringrazio, ho scritto l'insieme $A $ in maniera errata , quello corretto è : $ A={x^2+y^2+z^2<=4 , z>=0}uu{sqrt(x^2+y^2)<=z+2 ,z<=0} $ , così l'insieme è chiuso e limitato, quindi esistono massimo e minimo. L'insieme dovrebbe essere un cono con una semisfera che ci poggia sopra, giusto?

[Rigel1]

"Cuppls":Innanzitutto ti ringrazio, ho scritto l'insieme $A $ in maniera errata , quello corretto è : $ A={x^2+y^2+z^2<=4 , z>=0}uu{sqrt(x^2+y^2)<=z+2 ,z<=0} $ , così l'insieme è chiuso e limitato, quindi esistono massimo e minimo. L'insieme dovrebbe essere un cono con una semisfera che ci poggia sopra, giusto?

Esatto.
La soluzione proposta sembra corretta.

[Cuppls1]

Grazie mille!